Curvas Cónicas

by Alfonso Medina

​Se denomina sección cónica o curva cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre una superficie cónica de revolución y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.

Apolonio de Perga (262 a.C. - 180 a.C.) Matemático griego, conocido con el sobrenombre de el Gran Geómetra, sus extensos trabajos sobre geometría tratan de las secciones cónicas y de las curvas planas y la cuadratura de sus áreas.

Acuñó los términos elipse, hipérbola y parábola, que responden a las respectivas propiedades matemáticas de estas tres funciones.

​Curva cerrada y plana, resultado de la sección producida por un plano secante, cuyo ángulo producido con el eje, es

mayor que el semiángulo de la superficie cónica.

La elipse:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de radio vectores (distancias desde la elipse a los dos focos) es constante e igual al eje mayor.

La elipse presenta dos ejes perpendiculares y centrados, el eje mayor y el eje menor. Los extremos del eje menor son los vértices de la elipse. En el eje mayor se encuentran además los dos focos F y F'.

​Circunferencia FOCAL (CF):

Es aquella cuyo centro es uno de los focos de la elipse y su radio es igual al eje mayor, 2a. Por tanto, a cada una de las elipses le podemos trazar dos CF.

​La circunferencia principal (CP):

Es aquella cuyo centro es el centro de la curva y el radio es la mitad del eje mayor AB.

Es decir, su diámetro es igual a la distancia entre vértices, 2a.

​Parámetros de la elipse:

​a= Semieje mayor

​b= Semieje menor

​c= Semidistancia Focal

​Construcción de la elipse por radios vectores:

​

​Vamos a ver como se construye la elipse paso a paso.

​1º- Marcamos un punto arbitrario (1) sobre el eje mayor. Con centro en F y radio a1 trazamos un arco en el primer cuadrante de la elipse y con centro en F' y radio a'1 trazamos otro arco también en el primer cuadrante. El punto dónde se cortan ambos arcos pertenece a la elipse ya que se cumple a1+a'1=aa'

2º- Con los mismos radios y los mismos centros podemos obtener el punto simétrico en el tercer cuadrante.

3º- Con los mismos radios pero invirtiendo los centros hallamos los puntos simétricos respecto a eje menor a los otros dos.

​4º- Marcamos otro punto (2) sobre el eje mayor y repetimos la operación de los pasos 2º y 3º, así obtenemos otros cuatro puntos de la elipse.

5º- Marcamos un tercer punto y repetimos de nuevo la operación de los pasos 2º y 3º. Con 12 puntos podemos intuir el recorrido de la elipse, aunque podemos repetir la operación para conseguir más puntos.

6º- Unimos los puntos a mano alzada.

LA PARÁBOLA:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y una recta llamada directriz.​

​El vértice de la parábola se encuentra a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz, es decir, a la mitad del parámetro. Es una cónica abierta de una rama.

Tiene un eje de simetría. La directriz es perpendicular al eje.

El foco y el vértice están situados sobre el eje. La distancia del vértice a la directriz es igual que la del foco al vértice.

​

​Trazado de la parábola dado el foco y la directriz:

1º- Trazamos una paralela a la directriz a una distancia d. Con centro en F trazamos un arco de radio d que corta a la paralela en dos puntos pertenecientes a la parábola.

2º- Repetimos este procedimiento tantas veces como pares de puntos simétricos deseemos obtener.

3º- Por último unimos los puntos obtenidos para obtener la parábola.

​Trazado de la parábola dado el foco y la directriz (otro método):

1º- Elegimos un punto (1) arbitrario sobre la directriz y trazamos el segmento F1.

2º- Trazamos la mediatriz del segmento F1.

3º- A partir de 1 trazamos una perpendicular a la directriz. Donde ésta corta a la mediatriz obtenemos un punto P de la parábola.

​Esta operación la repetimos tantas veces como puntos deseemos. Podemos hacer uso de las propiedades simétricas de la parábola para construir la otra mitad simétrica y así obtener el doble de puntos.

​La Hipérbola:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Estas distancias a los focos desde un punto de la curva se llaman radios vectores.

​La hipérbola presenta dos ejes de simetría. Los vértices y los focos están situados sobre el eje real o principal. El eje imaginario o virtual es perpendicular al anterior. Los ejes son perpendiculares y se cortan en el centro O.

​Las asíntotas son rectas tangentes en el infinito a cada rama de la hipérbola.

​Cuando las asíntotas se cortan formando 90º, la hipérbola recibe el nombre de equilátera.

​Los parámetros de la hipérbola:

Son las tres magnitudes que caracterizan la hipérbola.

1. Eje real AA': o principal. Se representa por 2a.

2. Eje imaginario CD: o secundario. Se representa por 2b.

​3. La distancia focal FF' se representa por 2c.

​Circunferencia FOCAL (CF):

Es aquella cuyo centro es uno de los focos de la elipse y su radio es igual al eje mayor, 2a. Por tanto, a cada una de las elipses le podemos trazar dos CF.

​La circunferencia principal (CP):

Es aquella cuyo centro es el centro de la curva y el radio es la mitad del eje mayor AA'.

Es decir, su diámetro es igual a la distancia entre vértices, 2a.

​Trazado de la hipérbola dados los focos F y F’ y Los vértices A y A’:

​1º- Tomamos un punto sobre el eje FF’. Con centro en F y radio A1 trazamos un arco y con centro en F’ y radio A’1 trazamos otro arco, los dos puntos de intersección de los arcos son puntos de la hipérbola.

2º- Repetimos este procedimiento tantas veces como pares de puntos simétricos deseemos obtener.

3º- Si tomando los mismos radios invertimos los centros (radio A1 con centro en F’ y radio A’1 con centro en F, etc. obtendremos los puntos simétricos de la otra rama.

​Vamos a verlo de nuevo:

​Se toman puntos auxiliares 1, 2, 3 ,4 , etc., sobre el eje principal desde un foco y alejándonos del centro O.

Las distancias que hay desde cada punto a los vértices son sus radios vectores. Con los radios vectores se hace centro de compás en los focos, y alternativamente, se irán cortando entre sí los arcos, dándonos los puntos de cada rama de la hipérbola.