Matematik 3c: Gränsvärden, derivatans definition och polynom

Matematik 3c: Gränsvärden, derivatans definition och derivatan av polynom

Av Jakob Nilsson, Västerhöjdsgymnasiet, Skövde

​Gränsvärden

Att bestämma ett gränsvärde

Multiple Choice

Fatta pennan! Här kommer några övningsuppgifter. Du kan även bläddra till tidigare presentationssidor med pilarna nere till höger ifall du behöver backa.

Först ut, bestäm gränsvärdet $$L=\lim_{s\rightarrow-4}\left[-\left(s+1\right)\left(2-2s\right)\right]$$  

• L=12

• L=18

• L=30

• L=38

• Gränsvärdet L existerar ej.

Multiple Choice

För vilka heltalsexponenter n existerar gränsvärdet $$L=\lim_{x\rightarrow0}x^n$$ ?

• Alla n

• Inga n

• $$n\ge0$$  

• $$n<0$$  

Multiple Choice

Bestäm gränsvärdet $$\lim_{h\rightarrow0}\ \frac{\left(x+h\right)^2-x^2}{h}$$ . Använd kvadreringsregeln. Ditt mål är att faktorisera ut och stryka h.

• x

• 2x

• $$x^2$$  

• Gränsvärdet existerar ej

​Derivatans definition

Multiple Choice

Vad är lutningen hos funktionen $$f\left(x\right)=3,5\cdot x^2$$  då $$x=-2$$  ?

• $$f'\left(-2\right)=-7$$  

• $$f'\left(-2\right)=7$$

• $$f'\left(-2\right)=-28$$

• $$f'\left(-2\right)=-14$$

Multiple Choice

Låt $$f\left(x\right)=-2\cdot x^2$$ . Lös ekvationen $$f'\left(x\right)=8$$  .

• x=-2

• x=-1

• x=1

• x=2

Open Ended

Förklara med egna ord vad det är vi bestämmer genom att lösa ekvationen $$f'\left(x\right)=8$$  ?

Multiple Choice

Vi nämnde aldrig vad som händer om exponenten n=0. Med det sagt, vad borde derivatan till funktionen $$f\left(x\right)=1$$ eller mer allmänt $$f\left(x\right)=konst.$$ vara?

• $$f'\left(x\right)=0$$  

• $$f'\left(x\right)=1$$

• $$f'\left(x\right)$$ är inte definierad för något x.

Open Ended

Förklara med egna ord varför derivatan $$f'\left(x\right)=0$$ , givet att $$f\left(x\right)=konst.$$

Multiple Choice

Bestäm $$f'\left(x\right)$$ om $$f\left(x\right)=6x^4$$ .

• $$f'\left(x\right)=4x^3$$

• $$f'\left(x\right)=24x^3$$

• $$f'\left(x\right)=12x^3$$

Derivatan av en summa

Multiple Choice

Bestäm f'(x) om $$f\left(x\right)=6x^4-3,5x^2+1$$  

• $$f'\left(x\right)=6x^3-3,5x$$  

• $$f'\left(x\right)=6x^3-3,5x\ +1$$

• $$f'\left(x\right)=24x^3-7x$$

• $$f'\left(x\right)=24x^3-7x\ +1$$

Multiple Choice

Låt $$f\left(x\right)=6x^4-3,5x^2+1$$ . Bestäm rötterna till ekvationen $$f'\left(x\right)=0$$ . Kontrollera ditt svar genom att rita f(x) och f'(x) i GeoGebra. (' -knappen finns till höger om "Ä" på tangentbordet)

• $$x=0,\ x=\pm\sqrt{\frac{7}{24}}\approx\pm0,54$$  

• $$x=0,\ x=\pm\sqrt{\frac{24}{7}}\approx\pm1,85$$  

• $$x=\pm\sqrt{\frac{24}{7}}\approx\pm1,85$$

Olika sätt att beteckna derivatan

Multiple Choice

Låt $$y\left(x\right)=\left(5x-2\right)^2.$$  Bestäm $$\frac{dy}{dx}$$ genom att först utveckla parentesen och sedan derivera term för term.

(detta är det enda sättet du kan lösa uppgiften innan matte 4, då du får lära dig deriveringsregler för parenteser med mera ^-^)

• $$\frac{dy}{dx}=25x-10$$

• $$\frac{dy}{dx}=25x-20$$

• $$\frac{dy}{dx}=50x-20$$

Tillämpning av derivata: Bestäm tangentens ekvation sid. 1 av 2

Tillämpning av derivata: Bestäm tangentens ekvation sid. 2 av 2

Multiple Choice

Bestäm ekvationen för tangenten t(x)=kx+m till kurvan $$y\left(x\right)=x^2-5x+4$$ i punkten där x=2. Stegen är som följer:

1. Bestäm t(2) via sambandet t(2)=y(2)

2. Bestäm tangentens lutning k = y'(2)

3. Bestäm m-värdet via sambandet t(2)=k*2 +m

Kontrollera ditt svar i GeoGebra. Skär din tangent kurvan i rätt punkt?

• t(x)=2x+1

• t(x)=-x

• t(x)=-x+1

• t(x)=2

Psst! En sammanfattning av deriveringsreglerna finns på formelsamlingen sid. 3. du behöver alltså inte komma ihåg deriveringsregler utantill.... men det lär väl hända med träning oavsett :D

​Mer träning på derivatan av polynom hittas på sid. 87 & 89 i boken.

Avslutande bildspel: Varför så många derivator inom naturvetenskapen?

​1. Termodynamikens lagar möjliggjorde den industriella revolutionen samt stora delar av modern kemi (U=inre energi, T=absolut temperatur, P=tryck, S=entropi, A="Helmholtz fria energi", H=entalpi, G= "Gibbs energi"). Samtliga formler innehåller derivator!

​

​2. Den fullständiga versionen av Newtons andra lag lyder:

Resultantkraften = tidsderivatan av rörelsemängden. Denna formel fungerar alltså även om massan den konstanta massa m t.ex. består av två tidsberoende delar så som raket + flygbränsle.

​

​3. Matematisk optimering går ut på att genom att bestämma nollpunkter till derivatan bestämma de mest fördelaktiga lösningarna till vårt problem.

​

I bild: Vi hittar minimum och maximum till f(x,y) där f t.ex. är ton koldioxidutsläpp beroende på antalet producerade varor av typ x och y.

​

4. Den klassiska vågekvationen: y(x,t) är vågens amplitud vid position x och tidpunkt t. v är vågens utbredningshastighet. Ekvationen kan tillämpas på vibrerande gitarrsträngar såväl som radiovågor och fulsång.