Zagadnienia do egzaminu magisterskiego

Zagadnienia

do egzaminu magisterskiego

Natalia Karkula, Dominika Kołodziejska, Rita Wilk

​

Liczby kardynalne

Aksjomat liczb kardynalnych

Każdemu zbiorowi X przyporządkowany​ jest pewien obiekt matematyczny, zwany mocą zbioru X lub liczbą kardynalną zbioru X,

oznaczony przez ​card(X), spełniający następne warunki:

(i)​ Dwa zbiory X i Y mają równą moc wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory X i Y są równoliczne.

(ii)​ Mocą zbioru n-elementowego jest liczba naturalna n.

​

Przyjmujemy, że card(∅)​=0, card(ℕ)=ℵ₀

​

Własności liczb kardynalnych

Własności liczb kardynalnych

Własności działań

na liczbach kardynalnych

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

Niech ​X będzie dowolnym zbiorem oraz A ⊆ X.

​Funkcję f_A (x): X → {0,1} określoną wzorem​

​

​

​

​

​nazywamy funkcją charakterystyczną podzbioru A zbioru X.

 ​

Twierdzenia

​TWIERDZENIE CANTORA

Niech X będzie dowolnym zbiorem. Wtedy card(X)<card(P(X))

​

TWIERDZENIE

​Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami, przy czym Y≠∅. Wówczas istnieje surjekcja f: X→Y zbioru X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy card(Y)≤card(X)

Zbiory mocy continuum

Wybrane fakty o liczbach kardynalnych:​

• Nie istnieje zbiór wszystkich liczb kardynalnych.​

• Skala liczb kardynalnych jest pozaskończona​

Multiple Choice

card(∅)​=

​

• 0

• ℵ₀

  ​

• ℵ

  ​

• ℵ^ℵ

  ​

Multiple Choice

card(ℕ)​=

​

• 0

• ℵ₀

  ​

• ℵ

  ​

• ℵ^ℵ

  ​

Multiple Select

card(ℝ)=

• card(ℕ^ℕ)

• card({0,1}^ℕ)

• ​ϲ

• $$2^{\aleph_0}$$  

• $$\aleph$$  

Multiple Choice

Który ze zbiorów mocy contiuum jest sumą przeliczalnie wielu swoich podzbiorów mocy mniejszej niż kontinuum?

• ℕ^ℕ

• {0,1}^ℕ

• ℝ

• żaden

• ℕ

Liczby porządkowe

Własności liczb porządkowych

Własności liczb porządkowych

Wybrane pytania z egzaminu magisterskiego

Multiple Choice

Wskaż fałszywe dokończenie zdania. W $$\R$$  z topologią naturalną mamy:

• $$cl\ \mathbb{Q}=\mathbb{R}$$  

• $$int\left(\left[a,b\right]\right)=\left[a,b\right]$$  

• $$cl\ \left(\left[a,b\right]\right)=\left[a,b\right]^{ }$$  

• $$int\left(\left(a,b\right)\right)=\left(a,b\right)$$  

Multiple Choice

Wykres funkcji $$f\left(x\right)=x-\sin x,$$   gdzie $$x\in\R$$  :

• jest symetryczny względem punktu (0,0)

• jest prostą, której współczynnik kierunkowy jest równy $$1-\sin1$$  

• nie ma punktów wspólnych z prostą $$y=\frac{\pi}{2}$$  

• nie ma punktów wspólnych z osią OY

Multiple Choice

Odwzorowaniem zwężającym w $$\R$$  z metryką naturalną NIE jest:

• $$f:\ \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}:\ f\left(x\right)=2x$$  

• $$f:\ \left[1,\infty\right)\longrightarrow\left[1,\infty\right):$$   $$\ f\left(x\right)=\sqrt{x}$$  

• żadna z odpowiedzi nie jest poprawna

• jednokładność o skali $$k\in\left(0,1\right)$$  

Multiple Choice

Wektorem normalnym do powierzchni S zadanej przez $$F\left(x,y,z\right)=2x^2y-xyz+z^3,$$  w punkcie $$P=\left(x,y,z\right)$$  jest:

• $$\nabla F=$$   ( $$4xy-yz,2x^2-xz,$$    $$-xy+3z^2$$  

• $$\nabla F=\left(4x,-xz,3z^2\right)$$  

• $$\nabla F=\left(2,-1,1\right)$$  

• $$\nabla F=\left(2x,-xy,3z^2\right)$$  

Multiple Choice

Wielomianem nierozkładalnym jest:

• $$2X^3+15X^2+$$    $$21X+3\in\mathbb{Z}\left[X\right]$$  

• $$2X^2-8\ \in\mathbb{Z}\left[X\right]$$  

• $$X^2+5\ \in\text{C}\ \left[X\right]$$  

• $$6X^3+9X^2+$$   $$9X+6\in\mathbb{Q}\left[X\right]$$  

Multiple Choice

W ilu punktach płaszczyzna styczna do wykresu funkcji $$z\left(x,y\right)=2xy+xy^2$$  jest dana równaniem $$x+3z=0?$$  

• 0

• 2

• $$+\infty$$  

• 1

Multiple Choice

Jeśli pochodna funkcji $$f$$  jest równa zero w pewnym punkcie $$x$$   należącym do dziedziny funkcji $$f$$ to funkcja osiąga w tym punkcie ekstremum

•  prawda

• fałsz

Multiple Choice

Liczba a jest podzielna przez 6. Która z poniższych liczb jest na pewno podzielna przez 18.

• $$a^2+a$$  

• $$a+12$$  

• $$a+18$$  

• $$a^2+3a$$  

Multiple Choice

Złożenie dwóch symetrii osiowych jest symetrią środkową.

• prawda

• fałsz

Multiple Choice

Największym wspólnym dzielnikiem wielomianów $$x^4-1$$   oraz $$x^2+3x+2$$   jest wielomian

• $$x+1$$  

• $$x^2-1$$  

• $$x-1$$  

• $$x+2$$  

Multiple Choice

Jeżeli bryłę przekształcimy przez jednokładność o skali 2, to jej objętość wzrośnie dokładnie

• o 700%

• o 500%

• o 100%

• o 200%

Multiple Choice

Dla której krzywej $$C$$   krzywizna $$\kappa$$   jest stałą liczbą dodatnią

• dowolna prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych

• elipsa $$\left(\frac{x}{9}\right)^2+\left(\frac{y}{16}\right)^2=1$$  

• dowolna prosta afiniczna

• linia śrubowa $$\gamma\left(t\right)=\left(3\cos\left(t\right),3\sin\left(t\right),4t\right)$$  

Multiple Choice

Które z podanych funkcji tworzą układ fundamentalny równania różniczkowego $$y''+y=0$$  ?

• wszystkie pozostałe odpowiedzi są błędne

• $$\sin x+\cos x,\ 0,\ \sin x-\cos x$$  

• $$\frac{1}{2}\sin x,\ 2\ \cos x,\ \sin x$$  

• $$\sin x,\ \cos x,\ \sin x+\cos x$$  

Multiple Choice

Rozpatrzmy trójkąty, których dwa boki mają długość $$4\ cm$$  i $$5\ cm$$ . Wśród nich jest trójkąt o największym polu $$P$$ . Wówczas

• $$P=5\sqrt[]{3}cm^2$$  

• $$P=5cm^2$$  

• $$P=10cm^2$$  

• $$P=20cm^2$$  

Multiple Choice

Funkcja $$f$$   posiada dokładnie dwa ekstrema lokalne. Wskazać wykres, który może być wykresem pochodnej funkcji $$f$$  

Multiple Choice

Rowerzysta pokonał drogę z A do B z prędkością $$10\ \frac{m}{s}$$ . Z jaką prędkością musi wracaą, by średnia prędkość podróży wyniosła $$20\ \frac{m}{s}$$  ?

• $$29,2\ \frac{m}{s}$$  

• $$30\ \frac{m}{s}$$  

• nie jest to możliwe

• $$29\ \frac{m}{s}$$  

Multiple Choice

Dla dowolnych $$x,y$$  w przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym, zachodzi

• $$\left|<x,y>\right|\ge\left|\left|x\right|\right|\cdot\left|\left|y\right|\right|$$  

• $$\left|<x,y>\right|=\left|\left|x\right|\right|\cdot\left|\left|y\right|\right|$$  

• $$\left|<x,y>\right|\le\left|\left|x\right|\right|\cdot\left|\left|y\right|\right|$$  

• żadna z pozostałych odpowiedzi nie jest prawidłowa

Multiple Choice

Szereg $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}$$  

• jest zbieżny, ale nie bezwzględnie

• jest zbieżny bezwzględnie

• jest rozbieżny

• nie jest zbieżny

Multiple Choice

Równanie różniczkowe $$y''=xe^x$$  posiada rozwiązania

• $$y=\left(x+1\right)e^x+C_1x+C_2$$  

• $$y=\left(x-2\right)e^x+C_1x+C_2$$  

• $$y=\left(x+2\right)e^x+C_1x+C_2$$  

• $$y=\left(x-1\right)e^x+C_1x+C_2$$  

Multiple Choice

Rozważmy zbiór $$X=\left\{2,3,4,5,6,7,8\right\}$$  z relacją zadaną następująco: $$a\sim b\leftrightarrow a$$  | $$b$$  . Relacja " $$\sim$$ " jest na zbiorze $$X$$  

• żadne z powyższych

• częściowym porządkiem

• dobrym porządkiem

• liniowym porządkiem

Multiple Choice

Wskaż zdanie prawdziwe:

• funkcja $$f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x}$$  jest funkcją liniową

• Zbiór składający się ze zbioru pustego jest jednoelementowy.

• Wyrazy ciągów liczbowych są liczbami naturalnymi dodatnimi.

• Jeżeli wielokąt ma wszystkie kąty wewnętrzne równej miary, to jest wielokątem foremnym

Multiple Choice

Niech $$f=4X^2+3$$  i $$g=\ 2X^3+3X$$  będą wielomianami pierścienia $$\Z_5\left[X\right]$$ . Wówczas wielomian $$f\cdot g$$   jest równy

• $$3X^{5\ }+8X^3+4X$$  

• $$3X^5+3X^4+4X$$  

• $$3X^5+3X^3+4$$

• $$3X^5+3X^3+4X$$  

Multiple Choice

Wartość oczekiwana sumy liczb oczek w stukrotnym rzucie kostką sześcienną wynosi

• 100

• 350

• 300

• 200

Multiple Choice

Przez połowę pewnej drogi samochód jechał z prędkością $$50\ \frac{km}{h}$$ , a przez drugą połowę - z prędkością $$30\ \frac{km}{h}$$ . Jaka była średnia prędkość tego samochodu na całej odległości?

• $$35\ \frac{km}{h}$$  

• $$37,5\ \frac{km}{h}$$  

• $$37\ \frac{km}{h}$$  

• $$40\ \frac{km}{h}$$  

Multiple Choice

Moc $$2^c$$  ma zbiór

• $$\mathbb{R}^{\R}$$  

• wszystkich funkcji ciągłych prowadzących z $$\R$$  w $$\R$$  

• liczb zespolonych

• wszystkich ciągów o wartościach rzeczywistych

Multiple Choice

Liczba $$\left(1-i\right)^{16}$$   jest równa

• $$256$$  

• $$-2i$$  

• $$16$$  

• $$-4$$  

Multiple Choice

W $$\R$$  z metryką naturalną zbiorem zwartym jest

• przedział $$\left[a,b\right]$$  

• wszystkie odpowiedzi są poprawne

• przedział $$\left[a,b\right)$$  

• przedział $$\left(a,b\right)$$  

Multiple Choice

(Pytanie z wątpliwościami)Niech dany będzie układ ortogonalnych wektorów $$\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right),\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right),\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)$$  . Które zdanie opisujące ten układ jest prawdziwe?

• wektory te stanowią bazę przestrzeni $$\mathbb{R}^3$$  

• w procesie ortonormalizacji Grama-Schmidta niektóre z wektorów tego układu zostaną zastąpione innymi wektorami

• wszystkie wektory mają długość 1

• iloczyn skalarny pierwszego i trzeciego wektora jest równy $$\frac{2}{3}$$  

Multiple Choice

Drożdżówka zawiera średnio trzy kawałki czekolady. Przy założeniu, że liczba kawałków czekolady w drożdżówce ma rozkład Poissona, szansa na to że drożdżówka zawiera co najmniej jeden kawałek czekolady wynosi:

• $$1-\frac{1}{e^3}$$  

• $$1-\frac{1}{3}$$  

• $$1-\frac{1}{e^2}$$  

• $$1-\frac{1}{e}$$  

Multiple Choice

Funkcje $$y=f\left(x\right)$$  oraz $$y=g\left(x\right)$$  to funkcje liniowe, określone w zbiorze liczb rzeczywistych. Jeśli funkcje $$f$$   i $$g$$ są malejące, oraz $$f\left(-1\right)=g\left(4\right)=0,$$   to prawdziwe jest zdanie:

• w przedziale $$\left(-1,4\right)$$  funkcja $$p\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$$  jest malejąca

• funkcja $$p\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)\ }$$  przyjmuje wartości dodatnie dla dowolnej liczby $$x$$  z przedziału (-1,4)

• funkcja $$h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$$  jest malejąca

  w

  przedziale (-1,4)

• funkcja $$h\left(x\right)=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$$  przyjmuje największą wartość w przedziale (-1,4)

Multiple Choice

$$\mathbb{R}$$  z topologią strzałki jest przestrzenią:

• ośrodkową, spełniającą pierwszy aksjomat przeliczalności

• metryzowalną i zwartą

• zwartą i ośrodkową

• spójną, spełniającą drugi aksjomat przeliczalności

Multiple Choice

Dla dowolnej półnormy (seminormy) $$p$$  w przestrzeni liniowej $$X$$  prawdą jest, że:

• $$p\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)=$$   $$\sum_{k=1}^np\left(x_k\right)$$  dla

  $$x_j\in X,$$   $$j=1,2,...,n$$  

• $$\sum_{k=1}^np\left(x_k\right)\le$$   $$p\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)$$  dla $$x_j\in X,$$   $$j=1,2,...,n$$  

• $$\left|p\left(x\right)-p\left(y\right)\right|\ \le$$   $$p\left(x-y\right)$$  dla

    $$x,\ y\ \in X$$  

• $$\left|p\left(x\right)-p\left(y\right)\right|=p\left(x-y\right)$$  dla $$x,y\ \in X$$  

Multiple Choice

Wykresem funkcji liniowej może być półprosta

• prawda

• fałsz