VVVA

Vyšetřování průběhu funkce

By Pavel Čuda

Co vše nás u funkce zajímá

​

1. ​Definiční obor D_f(x) , body nespojitosti

2. Obor hodnot H_f(x), průsečíky s osami a intervaly na kterých je f(x)>0 a f(x) <0

3. Periodicita, parita (sudost, lichost), ​

4. Monotónnost, extrémy funkce (maxima a minima​)

5. Konvexnost, konkávnost​ a inflexní body

6. Asymptoty funkce, limity funkce v nevlastních bodech a bodech nespojitosti

7. Graf funkce

Vyšetřete průběh funkce: f(x)=x³+2x²-5x-6

Multiple Choice

f(x)=x³+2x²-5x-6

Definiční obor D_f(x) a body nespojitosti f(x) jsou:

• D_f(x)=ℕ a bod nespojitosti je [0;0]

• D_f(x)=​ℕ a nemá žádný bod nespojitosti

• D_f(x)=ℝ​ a bod nespojitosti je [0;0]

• D_f(x)=ℝ​ a nemá žádný bod nespojitosti

f(x)=x³+2x²-5x-6

​Urči obor hodnot H_f(x) a průsečíky f(x) se souřadnými osami , jestliže víš, že jeden z nulových bodů je [2;0]

f(x)=x³+2x²-5x-6

​Urči intervaly, pro které je f(x)>0 a f(x)<0

​

Multiple Choice

Funkce f(x) je sudá (lichá) právě když

• f(x) je sudá  $$\Longleftrightarrow\ \forall\ x\in D_{f\left(x\right)}\ :\ \ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\$$  

  f(x) je lichá $$\Longleftrightarrow\ \forall\ x\in D_{f\left(x\right)}\ :\ \ f\left(x\right)=f\left(-x\right)\$$  

• f(x) je sudá 

  $$\Longleftrightarrow\ \forall\ x\in D_{f\left(x\right)}\ :\ \ f\left(x\right)=f\left(-x\right)\$$

  f(x) je lichá

    $$\Longleftrightarrow\ \forall\ x\in D_{f\left(x\right)}\ :\ \ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\$$  

Multiple Choice

funkce f(x)=x³+2x²-5x-6 je:

• Sudá a periodická

• Lichá a periodaická

• pouze periodická

• pouze lichá

• ani lichá

  ani sudá

  ani periodická

f(x)=x³+2x²-5x-6

​Vypočítejte první a druhou derivaci

​

Stacionární bod funkce je každý bod z D_f(x) v němž je první derivace f(x) nulová nebo neexistuje.

Stacionární body

f(x)=x³+2x²-5x-6

Multiple Choice

Jestliže pro některý interval ​α ⊆ D_f(x) platí, že

$$f´\left(x\right)>0$$   resp. $$\left(f´\left(x\right)<0\right)$$  , pak

f (x) je na tomto intervalu:

• Rostoucí (klesající)

• Klesající (rostoucí)

f ´(x)= ​3x²+4x-5​

​f ´(x)>0 pro x∈(-∞ ; -2,1)⋃(0,8 ; ∞ ) -->

-->​ f(x) bude na tomto intervalu rostoucí

​

​f ´(x)>0 pro x∈(-2,1 ; 0,8) -->​ f(x) bude na

tomto intervalu klesající

​

V bodě S₁: bude lokální maximum --> f(x) je zleva rostoucí a zprava klesající (případně protože je f´´(x) pro tento bod f´´(x)<0)

​

V bodě S₂: bude lokální minimum --> f(x) je zleva klesající a zprava rostoucí (případně protože je f´´(x) pro tento bod f´´(x)>0)

​

Stacionární body:

S₁: [-2,1;4,1]

S₂: [0,8;-8,2]​

Extrémy funkce

f(x)=x³+2x²-5x-6

Multiple Choice

Která z těchto funkcí je konkávní?

Konvexnost, konkávnost

a inflexní body​

f(x) je konvexní na intervalu (a;b) právě když na tomto intervalu platí :

​f´´(x)>0

f(x) je konkávní na intervalu (a;b) právě když na tomto intervalu platí :

​f´´(x)<0​

bod x​∈D_f(x) se nazývá inflexní bod, jestliže pro něj platí

​f´´(x)=0​​ a ​f´´´(x)≠0​

f´´(x)=6x+4

​

​

• f(x) bude konkávní na intervalu (-∞ ; -2/3)

• f(x) bude konvexní na intervalu (-2/3 ; ∞)

• inflexním bodem f(x) je bod [-2/3 ; -2,1]

Asymptoty a limity

​Graf funkce