Denklemler ve Eşitsizlikler

Denklemler ve Eşitsizlikler

By Şahiste Kıryaman

Denklemler

Some text here about the topic of discussion

​

Örneğin;

-4x + 16 = 0

x^2-5x = 62

m - n = 24

ifadeleri birer denklem belirtir.

​Denklem, iki farklı veya aynı niceliklerin eşitliğini göstermeye yarayan bir bağıntıdır.

​Bu bağıntı iki niceliğin arasına (=) işareti konularak gösterilmektedir.

Denklemlerde eşitlikler değişkenlere bağlı olarak uygulanır.

Değişkenlerin her değeri için oluşan eşitliklere ise özdeşlik denir.

​Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler

Some text here about the topic of discussion

​Örneğin;

3a − 5 = 0 denkleminde; değişken a' dır ve denklemin derecesi 1 dir.

5m^2 + 8m − 2 = 0 denkleminde; değişken m' dir ve denklemin derecesi 2' dir.

-3x^3 + 7x − 5 = 0 denkleminde; değişken x' dir ve denklemin derecesi 3' tür.

​

​İçinde bir tane bilinmeyen bulunan denklemlere bir bilinmeyenli denklemler denir.

a, b ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere 

ax + b = 0 genel gösterimi ile ifade edilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

a ve b' ye denklemin katsayıları, x' e değişken adı verilir.

Denklemin derecesi değişkeninin kuvvetine göre değişir

​Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Bir Denklemin Çözüm Kümesi

​

a.x+b=0 şeklindeki bir denklemde denklemi sağlayan x değerini bulmaya denklemi çözmek, denklemi sağlayan x∈R değerine denklemin kökü denir.

Denklemin köklerinden oluşan kümeye, denklemin çözüm kümesi adı verilir. Çözüm kümesi genellikle ÇK ile gösterilir.

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

Özellikler: a.x+b=0 şeklindeki bir denklemde;

​1) a ≠ 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir tane x değeri vardır. 

ÇK = {-b/a} şeklinde gösterilir.

​

​2) a = 0 ve b = 0 ise denklem 0 ∙ x + 0 = 0 durumuna dönüşür. Bu durumda x değişkenine hangi gerçek sayı değeri verilirse verilsin eşitlik sağlanır. Yani çözüm kümesi gerçek sayılardır.​

ÇK=ℝ şeklinde gösterilir.

​

3) a = 0 ve b ≠ 0 ise denklem 0 ∙ x + b = 0 durumuna dönüşür. Bu durumda x değişkenine hangi gerçek sayı değeri verilirse verilsin bu eşitlik doğru olmaz. Çözüm kümesi boş kümedir.

ÇK = ∅ şeklinde gösterilir.

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

​Eşitsizlik Nedir?

Some text here about the topic of discussion

​

Eşitsizlikler Günlük Hayatta;

​

· Eşitsizler günlük hayatta, hesaplanan koordinat sistemlerinin bulunmasında,

· Bir mevki üzerinde haritada yerinizin belirlenmesinde,

· İstikamet açısının hesaplanmasında,

· Astronomi biliminde yapılan hesaplamalarda

​

ve daha bir sürü yerde kullanılır.​

​Bir niceliğin diğer bir nicelikten büyük veya küçük olma durumunu belirten ifadelere ise eşitsizlik denir.

Eşitsizliklerin ifade edilmesinde >, ≥, <, ≤ sembolleri kullanılır.

ax + b > 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b < 0 , ax + b ≤ 0 şeklinde ifade edilebilen eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

​Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizliklerin Özellikleri

Some text here about the topic of discussion

​

Örnek:

-2 < 3 ise

-2 + 5 < 3 + 5 => 3 < 8 olur.

-2 - 5 < 3 - 5 => -7 < -2

​1) Bir eşitliğin her iki tarafına aynı gerçek sayı eklenir ya da çıkarılırsa eşitsizlik değişmez.

a, b, c birer gerçek sayı olmak üzere a < b ise ;

a + c < b + c veya a - c < b - c olur.

Some text here about the topic of discussion

​Örnek: 

x, y ∈ ℝ olmak üzere; -2 < x ≤ 8 ve 5 ≤ y ≤ 11 ise x + y nin değer aralığını bulunuz.

-2 < x ≤ 8

5 ≤ y ≤ 11

-2 + 5 < x + y ≤ 8 + 11 => +3 < x + y ≤ 19

x + y = ( 3 , 19 ]

​

​

2) Eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.

a < x < b

c < y < d

a + c < x + y < b + d

Some text here about the topic of discussion

​3) Bir eşitsizliğin her iki tarafını pozitif bir sayı ile çarparsak veya her iki tarafını pozitif bir sayıya bölersek eşitsizlik bozulmaz, eşitsizlik yön değiştirmez.

​

a, b, c birer gerçek sayı ve c > 0 olmak üzere;

a < b ise;

a. c < b . c veya a/c < b/c

​

4) Bir eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı ile çarparsak veya her iki tarafını negatif bir sayıya bölersek eşitsizlik bozulur, eşitlik yön değiştirir.

​

a, b, c birer gerçek sayı ve c < 0 olmak üzere;

a < b ise;

a. c > b . c veya a/c > b/c

Some text here about the topic of discussion

​

6) a ve b sıfırdan farklı ve aynı işaretli gerçek sayılar olmak üzere;

​

a < b ise 1 / a > 1 / b

​

5) a, b, b, d ∈ R+ olmak üzere

a < b ve c < d ise;

a. c < b . d olur.

​

Örnek: 3 < x ≤ 7 ve 4 ≤ y ≤ 5 ise x .y nin değer aralığını bulunuz.

3 . 4 < x . y ≤ 7 . 5 = > 12 < x . y ≤ 35

​Abbasi döneminde yaşamış büyük İslam bilgini olan El Harezmi, cebir ve algoritmayı keşfeden, sıfır rakamını ilk olarak açıklayan, insanlık tarihinin en önemli matematikçilerinden birisidir. Harezmi’nin neredeyse tüm kitapları Latinceye tercüme edilip batı ülkelerinde kullanılmıştır. Bu muazzam deha sadece matematik ile ilgilenmemiş astronomi ve coğrafya alanlarında yaptığı çalışmaları da günümüze kadar ulaşmıştır.

​

​Some text here about the topic of discussion.

​HAREZMİ KİMDİR ?

​

​

Harezmi, kitabında, sıfırın, çıkarmada kullanılmasını şöyle anlatır:

​

"Sekiz, diğer sekizden çıkınca, geriyebirşey kalmaz. Bu takdirde hanenin (basamak) boş kalmaması için, bir dairecikkoy! Dairecik, boş hanenin yerine geçmekzorundadır. Eğer bu hane boş kalırsa, diğerhaneler de tahdit edilmiş olurlar.

​Some text here about the topic of discussion.

​

Harezmi'nin Denklem Grupları

El Harezmi, adı geçen eserinde denklemleri iki grupta toplamaktadır:

​

Birinci grupta; çözümleri derhal bulunabilen bizim bugünkü sembollerle

ifade edersek

x² = a.x, x² = n, a.x = n şeklindeki denkliklerdir.

Bunların çözüm kurallarını gösterdiktren sonra El- Harezmi ikinci denklem grubuna geçer

x² + a.x = n , x² + n = ax , ax + n = x² ve bunların çözümünü bugün

bildiğimiz metodla yapar.

​

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion