Matematika

Himpunan ​

By Ardianingtyas Albar

A. Himpunan & Notasinya

​Himpunan: kumpulan benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas.

Contoh​:

1. ​Kumpulan huruf vokal pada alfabet

2. Kumpulan hewan berkaki empat

3. Kumpulan bilangan asli kurang dari 6

4. Kumpulan buah berbiji​

5. dll​

Some text here about the topic of discussion

B. lambang himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama dengan huruf kapital, seperti A, B, X, Z dan sebagainya. Anggota himpunan dituls di antara tanda {} (kurung kurawal), dan antara anggota yang satu dengan lainnya dipisahkan dengan tanda koma (,).

​

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut!​

A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 6.

Kalimat diatas tersebut dapat kita tulis, A = {1, 2, 3, 4, 5}​

​

Some text here about the topic of discussion

Menyatakan himpunan

Ada 3 (tiga) cara yang dapat dilakukan untuk menyatakan suatu himpunan yaitu sebagai berikut:

1. ​Menyatakan suatu himpunan dengan kata-kata

   Perhatikan contoh berikut.

   W = {empat huruf pertama dalam abjad latin}

   H = {tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}

   A = {bilangan cacah yang kurang dari sepuluh}

​

Some text here about the topic of discussion

Menyatakan himpunan

2. Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan

Ketentuan penulisan notasi pembentuk himpunan adalah sebagai berikut:

{x|.......}

Keterangan:

x = variabel atau peubah yang menyatakan anggota suatu himpunan

| = dibaca "di mana"

.... = penyataan kalimat matematika yang menjadi syarat keanggotaan.

Perhatikan contoh berikut

A = {x|x = lima huruf pertama dalam abjad latin}

Dibaca : Himpunan A adalah himpunan yang anggotanya p, dimana p adalah lima huruf pertama dalam abjad latin.

​

Some text here about the topic of discussion

Menyatakan himpunan

3. Menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftar

Pada metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.

Perhatikan contoh berikut ini.

H = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Abdurrahaman Wahid, Megawati, Susilo Bambang Yudoyono}

A = {0, 1, 2, 3}

L = {a, b, c, d, e}

​

Some text here about the topic of discussion

Menyatakan himpunan

b. anggota himpunan

Setiap benda/objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, ditulis dengan lambang “∈” sedangkan untuk menyatakan suatu objek bukan, anggota himpunan ditulis dengan lambang “∉”.

​

Some text here about the topic of discussion

​perhatikan contoh berikut:

• Misalkan H adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MERDEKA”  maka H adalah himpunan  yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, E, R, D, E, K dan A.  Huruf M, E, R, D, E, K dan A termasuk anggota himpunan H. Banyaknya anggota himpunan H adalah 6 buah, yaitu M, E, R, D, E, K dan A ditulis n(H) = 6.

  ​

• ​Misalkan I adalah himpunan huruf-huruf pada kata “MATEMATIKA”  maka I adalah himpunan  yang anggota-anggotanya terdiri atas huruf-huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A.  Huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A termasuk anggota himpunan I. Banyaknya anggota himpunan I adalah 10 buah, yaitu M, A, T, E, M, A, T, I, K dan A ditulis n(I) = 10.

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

c. himpunan bagian

Himpunan A adalah himpunan bagian dari B, jika dan hanya jika setiap anggota dari A merupakan anggota dari B. Ditulis A ⊂ B, dibaca "A himpunan bagian B".

​Perhatikan himpunan-himpunan berikut:

A = {himpunan hewan}

B = {himpunan hewan berkaki empat}

C = {himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}

Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut:

A = {kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}

B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}

C = {buaya, kura-kura}

​

Some text here about the topic of discussion

Jika kita perhatikan, setiap anggota himpunan B merupakan anggota himpunan A, ditulis B ⊂ A dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C ⊂ B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A ⊂ B karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A ⊄ B.

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

Menentukan Banyak Himpunan Bagian yang Mungkin (Rumus)

Banyaknya suatu himpunan, dengan mudah dapat kita tentukan dengan menggunakan rumus.

Perhatikan himpunan-himpunan berikut!

A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2 yaitu {a} dan ∅

A = {a, b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a} {b} {a, b} dan ∅

A = {a, b, c }, banyaknya himpunan bagian ada 8 yaitu {a} {b} {c} {a, b} {a, c} {b, c} {a, b, c} dan ∅

A = {a, b, c, d}, banyaknya himpunan bagian ada 16 yaitu {a} {b} {c} {d} {a, b} {a, c} {a, d} {b, c} {b, d} {c, d} {a, b, c} {a, b, d} {a, c, d} {b, c, d} {a, b, c, d}  dan ∅

​

Dari 4 (empat) himpunan di atas dapat kita lihat bahwa

n(A) = 2 = 2^1

n(A = 4 = 2^2

n(A) = 8 = 2^3

n(A = 16 = 2^4

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

Menentukan Banyak Himpunan Bagian yang Mungkin (Rumus)

Dengan demikian kita dapat membuat suatu kesimpulan yaitu sebagai berikut Jika banyak anggota dari suatu himpunan ada "n" maka dari himpunan tersebut dapat dibuat himpunan bagian sebanyak 2^n. 

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A jika A = {1,2,3}

Jawab:

n(A) = 3

jadi, N = 2³ = 8

Himpunan bagian dari A adalah sebagai berikut:

A= {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅

 

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

d. himpunan kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan lambang "{}" atau "∅".

Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1

Himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan bilangan asli antara 3 dan 4.

Jawab:

A =∅ atau A = {} karena tidak ada bilangan asli antara 3 dan 4.

​

Some text here about the topic of discussion

Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!

a. himpunan bilangan prima genap

b. himpunan bulan yang jumlah harinya 32 hari

​

Jawaban:

​

Subject | Subject

Some text here about the topic of discussion

E. himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan S atau U. 

​

Perhatikan contoh berikut.

Jika A = {1, 3, 5, 7} maka dari himpunan A dapat ditentukan himpunan semesta yang mungkin yaitu.

a. S_1 = {bilangan ganjil} karena himpunan bilangan ganjil memuat semua anggota A.

b. S_2 = {bilangan asli} karena himpunan bilangan asli juga memuat semua anggota A.

c. S_3 = {1,3,5,7,9,11} karena himpunan ini memuat semua anggota A.

​

Some text here about the topic of discussion

f. diagram venn

Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai

diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika, Inggris

pada tahun 1834-1923 bernama John Venn dalam membuat diagram Venn

yang perlu diperhatikan yaitu:

1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang atau bersegi,

sedangkan anggota-anggotanya digambarkan dengan noktah.

2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh

kurva tertutup sederhana.

3. Jika suatu himpunan anggotanya terlalu banyak atau tak berhingga maka noktahnya tidak perlu di gambarkan.

​

g. irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus menjadi anggota B. Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut.  A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}

Contoh :

A = {bilangan asli yang kurang dari sama dengan 5}

B = {bilangan asli antara 3 dan 7}

Tentukan A∩B

Jawab :

A = {1,2,3,4,5}

B = {4,5,6}

Maka A∩B = {4,5}, karena 4 dan 5 adalah anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B.

 

h. gabungan

Gabungan dari dua buah himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan “∪”. Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B. Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan seperti berikut. A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}. Perhatikan contoh berikut.

Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 8} dan Q = {bilangan prima antara 2 dan 11}

Tentukan P ∪ Q !

Jawab:

P = {1,2,3,4,5,6,7} Sehingga P ∪ Q = {1,2,3,4,5,6,7}

Q= {3,5,7}

​

 

i. komplemen

Bila suatu himpunan A, semestanya S, maka komplemen dari A (ditulis Ac) adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan A. Apabila dituliskan dengan notasi pembentuk himpunan akan sebagai berikut. Ac = {x | x ∈ S atau x ∉ A} 

Misalkan:

S = {1,2,3,4,5,6,7,8}

A = {1,2,5}

B = {5,6,7,8}​

Himpunan S yang anggotanya selain anggota himpunan A & B adalah {3,4}.

​

 

j. penerapan konsep himpunan

Himpunan ini tidak hanya dipelajari di sekolah, namun sering digunakan dalam praktik kehidupan sehari-hari. Berikut ini adalah contoh kasusnya.

Misalkan suatu kelas terdiri dari 42 orang. 20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia. Berapa orang yang gemar keduanya?

Pembahasan 

Diketahui:

Banyak siswa di kelas 42 orang

20 orang gemar matematika dan 25 orang gemar Bahasa Indonesia

Ditanya: Banyaknya siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia?

 

j. penerapan konsep himpunan

Jawab:

Pertama-tama, kita misalkan banyaknya siswa yang gemar matematika dan IPA adalah x.

Sehingga,

Banyaknya siswa yang gemar matematika adalah 20 - x

Banyaknya siswa yang gemar Bahasa Indonesia adalah 25 - x

Selanjutnya, kita mencari nilai x-nya.

42 = (20 - x) + (25 - x) + x

42 = 20 - x + 25 - x + x

42 = 45 - x

x = 3

Dengan demikian, kita peroleh bahwa siswa yang gemar matematika dan Bahasa Indonesia adalah 3 orang.