Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

By Nancy Lazaro

Sean V y W espacios vectoriales reales.

Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v en V un vector único Tv en W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar k

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• T(u+v)=Tu + Tv

• T(kv)=kTv​

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​Transformaciones lineales

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 Al  no  cumplir  cualquiera  de  estas  condiciones  no  se  trata  de  una  transformación  lineal.

•La imagen del vector cero de V es el vector cero de W.

•Preserva la suma vectorial y la multiplicación por escalar, es decir, preserva las combinaciones lineales ( la imagen de una combinación lineal es la combinación lineal de las imágenes).

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Propiedades de las transformaciones lineales

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 Al  no  cumplir  cualquiera  de  estas  condiciones  no  se  trata  de  una  transformación  lineal

Núcleo e imagen de una transformación lineal.

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V -> W una transformación lineal. Entonces​

• El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por

nu T={v en V: Tv=0}

• La imagen de T, denotado por Im T, está dado por

Im T= {w en W: w =Tv para

alguna v en V}​

El núcleo o kernel está formado por todos los vectores en V que la transformación T lleva al vector cero en W.

La imagen de T, son todos los vectores en W que son imágenes de al gún vector en V. Es decir, es el recorrido de la función T.​

​Teorema

Si T: V->W es una transformación lineal, entonces

nu T es un subespacio de V

Im T es un subespacio de W​

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La nulidad de T es dimensión del​ núcleo de T.

El ​rango de T es la dimensión de la imagen de T.

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Representación matricial de una transformación lineal.

Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz. Dicha matriz se denomina matriz de transformación.

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Sea T: Rⁿ->R^m una transformación lineal. Existe una única matriz mxn , A_T tal que

Tv = A_Tv para toda v en Rⁿ

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Los vectores columna de A_T son las imágenes de los vectores que forman una base para V.

Ejemplo

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