KÜMELER

​

KÜME NEDİR?​

İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle isimlendirilir.

Bir grubun küme olabilmesi için iyi tanımlanmış yani herkes tarafından aynı şekilde bilinen ve belirli olan nesneleri içermesi gerekir. Örneğin “iyi insanlar” küme belirtmez çünkü iyi insanlar herkes için aynı değildir. Daha fazla örnek aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Küme Belirtmez	Küme Belirtir
Çalışkan öğrenciler Uzun boylu insanlar Bazı hayvanlar Birkaç gün	Takdir alan öğrenciler Boyu 1,5 metreden uzun öğrenciler Uçan hayvanlar Z harfi ile başlayan aylar

Bir ifadenin küme belirtip belirtmemesi herkes tarafından aynı şekilde bilinmesiyle alakalı bir durumdur. Örneğin sınıfta “Z harfi ile başlayan aylar nelerdir?” diye sorulsa herkes “yoktur” cevabını verecektir. Bu yüzden bu da bir küme (boş küme) belirtir.

​

ELEMAN VE ELEMAN SAYISI

Kümeyi oluşturan her nesneye o kümenin elemanı denir. Elemanıdır sembolü ∈ ile gösterilir. Elemanı değildir sembolü ∉ ile gösterilir. Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.

Pazar A kümesinin elemanıdır. → Pazar ∈ A Salı A kümesinin elemanı değildir. → Salı ∉ A A kümesinin eleman sayısı 3′ tür.  → s(A) = 3

Boş Küme

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da ∅∅ sembolleri ile gösterilir.

ÖRNEK: Ç harfiyle başlayan aylar kümesine A kümesi diyelim. Ç harfiyle başlayan ay olmadığı için A kümesi boş küme olur ve eleman sayısı sıfırdır.

Bu durum A = { } ya da A = ∅∅ şeklinde gösterilir ve s(A) = 0 olur.

NOT: { ∅∅ } ve { 0 } kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.

​

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.

Liste Yöntemi

Kümeye ait elemanların küme parantezi yani “{ }” şekli içerisine aralarına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Kümenin her bir elemanı yalnızca bir kez yazılır ve elemanların yerinin değiştirmesi yeni bir küme oluşturmaz.

ÖRNEK: Rakamlar kümesini liste yöntemiyle yazalım.

Bu kümeyi R harfiyle isimlendirecek olursak R = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 }

ÖRNEK: MATEMATİK kelimesinin harflerini liste yöntemiyle yazalım.

Bu kümeyi M harfiyle isimlendirecek olursak M = { M, A, T, E, İ, K }

NOT: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur.

ÖRNEK: B = { 123 } kümesinin eleman sayısı 1’dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123’tür.

​

Ortak Özellik Yöntemi

Kümeye ait elemanların tek tek yazılmak yerine ortak özelliklerinin yazılmasına ortak özellik yöntemi denir.

ÖRNEK: Aşağıda liste yöntemiyle verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazalım.

A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.

P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

​

​

Venn Şeması

Kümeye ait elemanların kapalı bir eğri içerisinde ve her elemanın başına bir nokta konularak gösterilmesine Venn şeması yöntemi denir.

​

​

KESİŞİM KÜMESİ

A ve B gibi iki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin kesişim kümesi denir ve A  ∩ B biçiminde gösterilir.

​

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin kesişim kümelerini bulalım.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

“3” ve “4” her iki kümede de bulunduğu için bu iki eleman kesişim kümesini oluşturur.

A ∩ B = { 3, 4 }

► K = { a, b, c } ve L = { k, l, m, n, p }

Bu iki kümede ortak eleman olmadığı için kesişim kümesi boş kümedir. Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler de denilir.

K ∩ L = { }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

Bu üç kümenin kesişim kümesi bu üç kümede de yer alan “4” elemanından oluşur.

​

​

BİRLEŞİM KÜMESİ

A ve B gibi iki kümenin bütün elemanlarından oluşan kümeye A ile B’nin birleşim kümesi denir ve A  ∪ B biçiminde gösterilir.

​

ÖRNEK: Aşağıdaki kümelerin birleşim kümelerini bulalım.

Birleşim kümesi yazılırken kümelerdeki bütün elemanlar sadece bir kez yazılır.

► A = { 1, 2, 3, 4 } ve B = { 3, 4, 5, 6, 7 }

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

► C = { a, b, c } ve D = { k, l, m }

C ∪ D = { a, b, c, k, l, m }

► P = { 1, 2, 3, 4 }, R = { 4, 5, 6 } ve S = { 2, 4, 6, 8 }

P ∪ R ∪ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

​