Numere pare și impare

Un număr par este un număr care are un rest de 0 la împărțirea prin 2, în timp ce un număr impar este un număr care are un rest de 1 la împărțirea prin 2.

Dacă cifra unităților (sau prima cifră) este 1,3, 5, 7 sau 9, atunci numărul se numește număr impar și dacă cifra unităților este 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul se numește număr par.

Astfel, mulțimea de numere întregi poate fi împărțită în două mulțimi pe baza parității:

• mulțimea de numere întregi pare (sau paritate 0)

• mulțimea de numere întregi impare (sau paritate 1).

Paritatea este o proprietate fundamentală a numerelor întregi și multe probleme aparent dificile pot fi rezolvate prin argumente de paritate.

Definiție

Un număr par are paritate 0 pentru că restul la împărțirea prin 2 e 0, în timp ce un număr impar are paritate 1 pentru că restul la împărțire prin 2 e 1. De exemplu 0,2,4,10,-6 sunt toate numere pare, deoarece acestea lasă un rest de 0 la împărțirea cu 2. Numere întregi 1,3,5,11,-7 sunt toate numere impare, deoarece acestea lasă un rest de 1 la împărțirea cu 2.

Fiecare întreg este fie par, fie impar, și nici un întreg nu este atât par, cât și impar. Aceasta include 0, care este par.

Multiple Choice

Aflați dacă 1729 este un număr impar sau par.

• impar

• par

Soluție

Deoarece restul obținut la împărțirea anului 1729 la 2 este 1, 1729 este un număr impar.

Sau

Numărul 1729 se termină cu cifra "9". Astfel, este un număr impar. ​

Multiple Choice

Dați-vă seama dacă 1000 este un număr impar sau par.

• impar

• par

Soluție

Deoarece restul obținut la împărțirea lui 1000 la 2 este 0, 1000 este un număr par.

Sau

Numărul 1000 se termină cu cifra "0". Astfel, este un număr par. ​

​

​

Multiple Choice

Care dintre următoarele este adevărat despre numărul -163?

(a) Este un număr impar.

(b) Este un număr par.

(c) Nu este nici un număr impar, nici unul par.

• (a)

• (b)

• (c)

• Niciuna dintre cele de mai sus.

Soluție

​Numărul -163 are restul 1 la împărțirea cu 2, deci numărul este impar.

Soluție

Paritatea se referă doar la numerele întregi și nu la fracții.

Astfel, 0, -2 și 2 x 2 sunt cele trei numere pare.

Multiple Choice

Numărul 2222452122 este impar sau par?

• par

• impar

Soluție

Ultima cifră este 2, iar 2 este un număr par. Deci, 2222452122 este un număr par.

Proprietățile numerelor pare și impare (paritate)

​Următoarele sunt proprietățile de paritate ale numerelor pare și impare:

1. par ± par = par

2. impar ± impar = par

3. par ± impar = impar

4. par × par = par

5. par × impar = par

6. impar × impar = impar

Aceste proprietăți sunt adesea utile pentru a testa dacă o egalitate este falsă prin utilizarea regulilor de paritate ale aritmeticii pentru a vedea dacă ambii membrii au aceeași paritate. Aplicarea acestor norme devine clară prin următoarele exemple și probleme:

Multiple Choice

Dacă n este un întreg, care este paritatea lui 2n+2?

• par

• impar

Soluție

Pentru că n este un întreg, n+1 este, de asemenea, un întreg. Atunci 2n+2 = 2(n+1) + 0 arată că paritatea lui 2n+2 e 0, ceea ce implică că 2n+2 este întotdeauna un număr par.

Multiple Choice

Este numărul (47630750675+453407032)×549068453 par sau impar?

• par

• impar

Soluție

Pentru a răspunde la această întrebare, ar fi neînțelept să înmulțim efectiv aceste numere. În schimb, putem aplica proprietățile numerelor pare și impare.

Pentru că 47630750675 se termină într-un 5, este impar. Pe de altă parte, deoarece 453407032 se termină într-un 2, este par. Prin proprietatea 3, par ± impar = impar, deci 47630750675+453407032 este impar. Întrucât această sumă este înmulțită cu 549068453, care este impar, întregul număr este impar, deoarece proprietatea 6 ne spune că impar × impar = impar. ​

Iată câteva probleme de încercat.

​

Multiple Choice

Dacă a este un număr impar negativ și b este un număr par pozitiv, atunci care dintre următoarele trebuie să fie un număr par pozitiv?

• b - a

• a + b

• ab

• -ab

Soluție

Un număr par plus/minus un număr impar este impar, deci a+b și b-a nu va funcționa.

Un negativ ori un pozitiv este un negativ, astfel încât ab nu va funcționa.

Pe de altă parte −ab este pozitiv, și din moment ce b este par, produsul va avea 2 ca factor.

Multiple Choice

Având în vedere că a și b sunt numere întregi, expresia

(a²+a+7)×(2b+1)

e ___________.

• întotdeauna impar

• întotdeauna par

• par sau impar, în funcție de valorile lui a și b

Soluție

În prima parte avem:

a² + a + 7

Știm că:

a² + a = a (a + 1)

Deci a² + a este produsul a două numere consecutive și unul dintre factori este par. Astfel, orice produs este par.

Știm că un număr impar plus un număr par este întotdeauna un număr impar, astfel încât prima parte este întotdeauna impară.

În partea a doua, avem:

2b + 1

Știm din algoritmul de împărțire că 2b +1 este întotdeauna impar, pentru că 2b este întotdeauna par.

​

​Acum avem un produs de două numere impare

Prin algoritmul de divizare putem spune că toate numerele impare pot fi reduse în formă:

2k + 1, k∈Z

Deci, avem:

a² + a + 7 = 2k₁ + 1

2b+1 = 2k₂ +1

( a² + a + 7 ) ⋅ ( 2b+1) = ( 2k₁ + 1) ⋅ ( 2k₂ + 1 ) = 4k₁ k₂ + 2k₁ +2k₂ + 1

= 2 ( 2k₁k₂ + k₁ + k₂) + 1 = 2k₃ + 1

Deci, produsul este întotdeauna un număr impar!

Multiple Choice

Fie x și y întregi. Dacă x + y este impar, care dintre următoarele este adevărat despre (x + y)² + xy?

• Este par

• Este impar

• Este par dacă x este par

• Este par dacă y este par

• Este par dacă xy este negativ

Soluție

Dacă x+y este impar, atunci

​

​

x+y este impar numai dacă: x este par și y este impar, sau dacă x este impar și y este par. În ambele cazuri, xy va fi par, pentru că par × impar = par.

Deci

​

​

Prin urmare, numărul este impar.

Rezolvarea problemelor

​

Iată exemplele și problemele motivate pentru a îmbunătăți abilitățile de rezolvare a problemelor bazate pe paritatea numerelor impare și pare. Du-te prin ele pentru a atinge obiectivele acestei secțiuni.

Multiple Choice

Dacă a și b sunt numere întregi, care este paritatea lui a×b?

• par

• impar

• depinde

Soluție

Știm că un număr impar înmulțit cu un număr impar rămâne impar, un număr par înmulțit cu un număr impar este par, iar un număr par înmulțit cu un număr par este par. Acest lucru poate fi rezumat ca

(Paritatea lui a)×(Paritatea lui b)=(Paritatea lui ab). ​

Poll

Fie P produsul primelor 100 de numere prime. Care este paritatea lui P?

• par

• impar

Soluție

​Vedem că primul număr prim este 2, care este par. Restul de 99 de numere prime sunt toate impare. Produsul acestor 99 de numere prime va fi un întreg, să zicem k. Înmulțirea unui număr par cu un alt număr întreg dă întotdeauna un număr par; astfel încât să putem scrie P ca 2k. Împărţirea lui P la 2 nu lasă un rest și, prin urmare, P este par.

Multiple Choice

Dacă k este un întreg, care dintre următoarele este întotdeauna par?

A. 2k + 1

B. k²

C. 4k + 4

D. k² -1

• A

• B

• C

• D

Soluție

A este întotdeauna impar pentru orice k. B este impar ori de câte ori k este impar. D este impar ori de câte ori k este par.

C poate fi rescris ca 4k + 4 = 2 (2k + 2) +0, ceea ce înseamnă că restul la împărțirea prin 2 este întotdeauna 0. Astfel 4k + 4 este întotdeauna par, arătând că răspunsul corect este C. ​

Multiple Choice

Dacă k este un întreg, care este paritatea lui k² + k?

• 0

• 1

Soluție

Observați că k² + k = k (k+1), unde k și (k+1) au paritate diferită. Atunci, prin regulile aritmetice ale parității, paritatea lui k(k+1) e 0. ​

​

Multiple Choice

$$\frac{par}{par}\cdot par=impar$$  

Poate un număr par, împărțit la un alt număr par, ori un alt număr par să fie vreodată egal cu un număr impar?

Dacă "da", atunci găsiți trei numere care funcționează. Dacă "nu", atunci de ce nu?

Rețineți că cele trei numere pare pot fi numere diferite.

• Da

• Nu

Soluție

Generalizare

Continuarea discuției

Soluție

Încercați următoarele probleme:

​

Multiple Choice

Având în vedere că a și b sunt întregi, ce putem concluziona despre expresia

(a²+a+2011)(2b+1)?

• Impar pentru toate valorile lui a și b

• Par pentru toate valorile lui a și b

• Par pentru exact 1 valoare a lui a și 1 valoare a lui b

• Impar pentru exact 1 valoare a lui a și 2 valori ale lui b

Soluție

a²+a=a(a+1) care este par pentru toate valorile lui a.

Deci,(a²+a+2011)este impar pentru toate valorile luI a.

Acum, 2b+1=b+b+1 care este impar pentru toate valorile lui b.

Prin urmare, (a²+a+2011)(2b+1) este impar pentru toate valorile lui a și b.

Soluție

Un număr din 2 cifre are un produs impar dacă și numai dacă ambele cifre ale numărului sunt impare. Prin urmare, există 5×5=25 astfel de numere de 2 cifre.

Figura următoare prezintă produsele cifrelor tuturor numerelor de 2 cifre. Se poate observa că există 25 de produse impare (evidențiate cu galben) atunci când ambele cifre sunt impare.

Soluție

n variază între 0 și 100, deci 4n+1 variază între 1 și 401 și există 201 întregi impare în acest interval!

Bibliografie

Cita ca: Numere par și impare. Brilliant.org. 18 octombrie 2022, 11:03, de la https://brilliant.org/wiki/even-and-odd-numbers/