Barisan dan Deret Aritmatika

BARISAN

DAN

DERET ARITMETIKA

A. Barisan Aritmetika

• Definisi

Barisan aritmetika adalah suatu barisan

bilangan yang selisih setiap dua suku
berturutan selalu merupakan bilangan tetap
(konstan).

• Bilangan yang tetap tersebut disebut beda

dan dilambangkan dengan b.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ...

Contoh :

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ...
+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, ...
–5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari
suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan
bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan
suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda
dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan
aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.

1

U = a

U = U + b = a + b
U = U + b = (a + b) + b = a + 2b
U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b
.
.
.
U = U + b = a + (n – 1)b
Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

Keterangan: Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

U = a + (n – 1)b

1

1

2

2

3

3

4

4

5

n

n

1n

Contoh 1 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7,

12, ....

Jawab:
–3, 2, 7, 12, …
Suku pertama adalah a = –3 dan
bedanya b = 2 – (–3) = 5.
Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh :

U = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32.
Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

n

8

20

Contoh 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:
Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.
Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2)

= 3,dan

U = 40.
Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;
40 = –2 + (n – 1)3
40 = 3n – 5
3n = 45
Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.
Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

n

n

B. Deret Aritmetika

• Definisi

• Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama

barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari
suatu barisan bilangan dinotasikan S .

Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U .

Untuk memahami langkah-langkah menentukan
rumus S , perhatikan contoh berikut :

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku
dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... +
U disebut deret aritmetika, dengan U = a + (n –
1)b.

n

n

n

n

n

n

Contoh 1 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11,
14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:
Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat

dituliskansebagai berikut.

S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14

S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

2S = 16 + 16 + 16 + 16 + 16
2S = 5 x 16

S =

S = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

5

5

5

5

5

5

2
16

5

Menentukan rumus umum untuk S

sebagai berikut. Diketahui rumus umum
suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,
U = a = a
U = a + b

= U – (a – 2)b

U = a + 2b = U – (n – 3)b
. .

.

. . .
. .

.

U = a + (n – 1)b = U

n

n

1

2

3

n

n

n

n

Dengan demikian, diperoleh ;

S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U

............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah

b kurang dari suku berikutnya.

U = U – b

U = U – b = U – 2b
U = U – b = U – 3b
Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan

S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U

.......... (2)

n

n

n

n

1n

1n

2n

2n

3n

n

n

n

n

n
n
n

n

n

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;

S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +U
S = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a

2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U )

n suku

Dengan demikian, 2S = n(a + U )

S = n(a + U )

S = n(a + (a + (n – 1)b))

S = n(2a + (n – 1)b)

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

2
1

2
1

2
1

n

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret
aritmetika adalah

Keterangan:

S = jumlah n suku pertama

a = suku pertama

b = beda

U = suku ke-n

n = banyak suku

S = n(a + U) atau

S =n [2a + (n – 1)b]

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 +

8 +....

Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}
= 50 (202)
= 10.100
Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut

adalah 10.100.

100

2

1

Contoh 3:

Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3
yang kurang dari 100.

Jawab:
Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah

3, 6, 9, 12, ..., 99 sehingga diperoleh

a = 3, b = 3, dan U = 99.
Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ;
U = a + (n – 1)b
99 = 3 + (n – 1)3
3n = 99
n = 33
Jumlah dari deret tersebut adalah

n

n

S = n (a + U )

S = x 33(3 + 99)

= 1.683
Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang

dari 100 adalah 1.683

n

n

2
1

2
1

33