Rezolvarea ecuațiilor de identitate

Definiție

O ecuație de identitate este o ecuație care este întotdeauna adevărată pentru orice valoare substituită în variabilă.

De exemplu 2(x+1)=2x+2 este o ecuație identitară. O modalitate de verificare este prin simplificarea ecuației:

2(x+1)=2x+2

2x+2=2x+2

2=2.

2=2 este o afirmație adevărată. Obținerea acestui tip de formă este un indicator că ecuația este, de fapt, o ecuație identitară. Dacă verificăm înlocuind numere diferite, vedem că afirmația de mai sus este într-adevăr adevărată. Următoarele sunt ecuații de identitate:

a(x+b)=ax+ab

(x+1)²= x²+2x+1

(x+y)²=x²+2xy+y²

sin²θ +cos²θ =1.

Ultima ecuație se numește identitate trigonometrică.

Rezolvarea ecuațiilor identitare:

Când vi se oferă o ecuație de identitate în anumite variabile, începeți prin a colecta termeni similari (termeni ai aceleiași variabile și ai aceluiași grad) împreună. Făcând acest lucru va împerechea, de obicei, termenii unu la unu, făcându-l astfel mai ușor de rezolvat. Să vedem câteva exemple:

Fill in the Blank

Având în vedere că (5x+3)-(2x+1)=ax+b este o identitate algebrică în x, care sunt valorile lui a și b?

Soluție

În primul rând, să simplificăm identitatea după cum urmează:

(5x+3)-(2x+1)=ax+b

(5x-2x)+(3-1)=ax+b

3x+2=ax+b.

Prin adunarea termenilor asemenea, avem

3x-ax+2-b=0

x(3-a)+(2-b)=0.

Pentru ca identitatea de mai sus să fie adevărată, ambele expresii din membrul stâng trebuie să fie egale cu zero. Astfel, avem 3-a = 0 și 2-b = 0 implicând a=3, b=2.​

Fill in the Blank

Având în vedere că ax³+5y-cz+16=16x³+by-3z+d este o identitate algebrică în x, y, și z, care sunt valorile lui a, b, c și d?

Soluție

Deoarece identitatea este în termeni de x, y și z, adunarea termenilor asemenea cu aceste variabile:

ax³+5y-cz+16=16x³+by-3z+d

x³(a-16)+y(5-b)-z(c-3)+(16-d)=0.

Pentru ca ecuația de mai sus să fie întotdeauna o afirmație adevărată, adică 0 = 0, toți termenii din membrul stâng trebuie să fie egali cu 0. Deci, avem

a-16=0, 5-b=0, c-3=0, 16-d=0,

Implicând a,b,c,d sunt egale cu 16, 5, 3, respectiv 16.​

Fill in the Blank

Având în vedere că (2x + ay)² = bx² + cxy + 16y² este o identitate algebrică în x, y și z, care sunt valorile lui a, b și c?

Soluție

După identitatea (x+y)² =x²+2xy+y², membrul stâng al identității date este

(2x+ay)²=(2x)²+2⋅2x⋅ay+(ay)².

Echivalând acest lucru cu membrul dreapt dă,

4x²+4axy+a²y²=bx²+cxy+16y².

Prin adunarea termenilor asemenea, avem

x²(4-b)+xy(4a-c)+y²(a²-16)=0.

Făcând toți termenii din stânga zero pentru a face afirmația adevărată, avem

4-b=0, 4a-c=0, a²-16=0,

ceea ce implică b=4, a=± 4, c=± 16.

Fill in the Blank

Având în vedere că asin²θ +acos²θ =13 este o identitate algebrică în θ,care este valoarea lui a?

Soluție

Prin utilizarea identității trigonometrice de mai sus sin²θ + cos²θ=1, avem

asin²θ +acos²θ=13

a(sin²θ +cos²θ) =13

a⋅1=13

a=13. ​​

Condiția pentru o identitate în x:

Definiție

Dacă o ecuație de forma ax² + bx + c are mai mult de două valori x care satisfac ecuația, atunci condiția este a = b = c = 0.

Fill in the Blank

Găsiți valoarea lui r în ecuația (r² - 2r + 1)x² + (r² - 3r + 2)x - (r² + 2r - 3) = 0?

Soluție

Vom folosi acum condiția de mai sus pentru a rezolva problema:

• Dat: a = (r² - 2r + 1)x², b = (r² - 3r + 2)x, c = (r² + 2r -3)

• Condiție: a = b = c = 0

r² - 2r + 1 = 0 ⟹ (r - 1)(r - 1) = 0 ⟹ r = 1, 1.
r² - 3r + 2 = 0 ⟹ (r - 2)(r - 1) = 0 ⟹ r = 2, 1.
r² + 2r - 3 = 0 ⟹ (r + 3)(r - 1) = 0 ⟹ r = -3, 1.

Dintre toate valorile, trebuie să găsim acum valoarea comună pentru r, care este 1.

Deci r = 1.​

Bibliografie

Rezolvarea ecuațiilor identitare. Brilliant.org. 08:56, 06 decembrie 2022,de la https://brilliant.org/wiki/solving-identity-equations/