BINOMIO DE NEWTON

“Año del Fortalecimiento de la Soberanía Nacional”

MINISTERIO DE EDUCACIÓN (MINEDU)

DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN ANCASH (DREA)

INSTITUTO DE EDUCACIÓN SUPERIOR PEDAGÓGICO PÚBLICO “HUARAZ”

PROGRAMA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA

ÁREA

: PROBABILIDAD

DOCENTE

: WILLIAM AGUEDO LOPEZ

ACTIVIDAD

: BINOMIO DE NEWTON

INTEGRANTES

:

-

CHAVEZ JOAQUIN Dina

-

GUERRERO CAUTIVO Rosenthal

-

HUERTA CANO Mabel

-

TORRES VILLAFANE Sheila

-

YANAC MAGUIÑA Pamela

SEMESTRE

: 2022 - II

3

INSTITUTO DE EDUCACIÓN

SUPERIOR PEDAGÓGICO

PÚBLICO “HUARAZ”

PROGRAMA

PROFESONAL DE

MATEMÁTICA

“Año del Fortalecimiento de la soberanía Nacional”

n =2

r = 2

𝑡2 = (
2

2 − 1) ∗ (2𝑥)2−2+1 ∗ (4)2−1

𝑡2 = (2

1) ∗ (2𝑥)1 ∗ (4)1

𝑡2 = (2

1) ∗ 2𝑥 ∗ 4

•𝐶1

2 =

2!

1!(2−1)!=

2!

1!∗1!=

2∗1

1∗1= 2

𝑡2 = 2 ∗ 2𝑥 ∗ 4

𝑡2 = 𝟏𝟔𝒙

El segundo término de la expresión (𝟐𝒙 + 𝟒)𝟐 𝒆𝒔 𝟏𝟔𝒙

SEGUNDA FORMA

Utilizando la fórmula de binomio al cuadrado

(𝒂 + 𝒃)𝟐= 𝒂𝟐+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Resolvemos

(2𝑥 + 4)2= (2𝑥)2+ 2(2𝑥)(4) + (4)2

(2𝑥 + 4)2= 4𝑥2+ 16𝑥 + 16

El segundo término de la expresión (𝟐𝒙 + 𝟒)𝟐 𝒆𝒔 𝟏𝟔𝒙

TERCERA FORMA

TRIÁNGULO DE PASCAL

Resolvemos

(2𝑥 + 4)2= 1(2𝑥)2∗ (4)0+ 2(2𝑥)1(4)1+ 1(2𝑥)0(4)2

(2𝑥 + 4)2= 1 ∗ (2𝑥)2∗ 1 + 2 ∗ 2𝑥 ∗ 4 + 1 ∗ 1 ∗ 16

(2𝑥 + 4)2= 4𝑥2+ 16𝑥 + 16

El segundo término de la expresión (𝟐𝒙 + 𝟒)𝟐 𝒆𝒔 𝟏𝟔𝒙

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PÚBLICO “HUARAZ”

PROGRAMA

PROFESONAL DE

MATEMÁTICA

“Año del Fortalecimiento de la soberanía Nacional”

2.El Economista Pedro desea saber ¿Cuál es el término de venta

más alto de un producto chino en el centro comercial La Placita,

para hacer el balance del producto en el mes? Sabiendo que el

costo está dado de la siguiente forma:

P(x,y)= (4x2+ 2y3)

Desarrollar el Binomio de Newton y encontrar el valor más alto,

donde la variable x son los costos fijos, y los costos variables,

dado que el monto de venta total es la suma de costos fijos de

1soles más los costos variables de 0.2 soles.

PRIMERA FORMA

Teorema del binomio de Newton

(𝑎 + 𝑏)𝑛= ∑ (𝑛

𝑘) 𝑎𝑛−𝑟. 𝑏𝑟

𝑛

𝑟=0

Resolvemos a partir de la siguiente expresión utilizando la propiedad

(4x2+ 2y3)4

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PROGRAMA

PROFESONAL DE

MATEMÁTICA

“Año del Fortalecimiento de la soberanía Nacional”

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= (4

0) . (4𝑥2)4−0 ∗ (2𝑦3)0 + (4

1) . (4𝑥2)4−1 ∗ (2𝑦3)1 + (4

2) . (4𝑥2)4−2

∗ (2𝑦3)2+ (4

3) . (4𝑥2)4−3 ∗ (2𝑦3)3 + (4

4) . (4𝑥2)4−4 ∗ (2𝑦3)4

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= (4

0) 256𝑥8 + (4

1) 64𝑥6 ∗ 2𝑦3 + (4

2) 16𝑥4 ∗ 4𝑦6 + (4

3) 4𝑥2 ∗ 8𝑦9

+ (4

4) 16𝑦12

Calculamos por combinación las expresiones (4

0) , (4

1) , (4

2) (4

3) , (4

4)

𝐶𝑟

𝑛 =

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

•𝐶0

4 =

4!

0!(4−0)!=

4!

1∗4!= 1

•𝐶1

4 =

4!

1!(4−1)!=

4!

1!∗3!=

4∗3!

3!= 4

•𝐶2

4 =

4!

2!(4−2)!=

4!

2!∗2!=

4∗3∗2!

4
= 6

•𝐶3

4 =

4!

3!(4−3)!=

4!

3!∗1!=

4∗3!

3!= 4

•𝐶4

4 =

4!

4!(4−4)!=

4!

4!∗0!= 1

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= (1)256𝑥8+ (4)64𝑥6∗ 2𝑦3+ (6)16𝑥4∗ 4𝑦6+ (4)4𝑥2∗ 8𝑦9

+ (1)16𝑦12

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= 256𝑥8+ 256𝑥6∗ 2𝑦3+ 96𝑥4∗ 4𝑦6+ 16𝑥2∗ 8𝑦9+ 16𝑦12

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= 256𝑥8+ 512𝑥6𝑦3+ 384𝑥4𝑦6+ 128𝑥2𝑦9+ 16𝑦12

Reemplazando en cada termino x=1, y=0.2

1.256𝑥8= 256(2)8= 65 536

2.512𝑥6𝑦3=512(2)6(1)3= 32 768

3.384𝑥4𝑦6= 384(2)4(1)6= 6 144

4.128𝑥2𝑦9= 128(2)2(1)9= 512

5.16𝑦12=(1)12 = 1

La venta total es 65 536+32 768+6 144+512+1= 104 961 soles

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PROFESONAL DE

MATEMÁTICA

“Año del Fortalecimiento de la soberanía Nacional”

El término de venta más alto es 256𝑥8= 65 536 soles

SEGUNDA FORMA

TRIÁNGULO DE PASCAL

Resolvemos

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= 1. (4𝑥2)4+ 4. (4𝑥2)3∗ (2𝑦3)1+ 6. (4𝑥2)2∗ (2𝑦3)2+ 4(4𝑥2)

∗ (2𝑦3)3+ 1(2𝑦3)4

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= 256𝑥8+ 256𝑥6∗ 2𝑦3+ 96𝑥4∗ 4𝑦6+ 16𝑥2∗ 8𝑦9+ 16𝑦12

(4𝑥2+ 2𝑦3)4= 256𝑥8+ 512𝑥6𝑦3+ 384𝑥4𝑦6+ 128𝑥2𝑦9+ 16𝑦12

Reemplazando en cada termino x=1, y=0.2

1.256𝑥8= 256(2)8= 65 536

2.512𝑥6𝑦3=512(2)6(1)3= 32 768

3.384𝑥4𝑦6= 384(2)4(1)6= 6 144

4.128𝑥2𝑦9= 128(2)2(1)9= 512

5.16𝑦12=(1)12 = 1

La venta total es 65 536+32 768+6 144+512+1= 104 961 soles

El término de venta más alto es 256𝑥8= 65 536 soles

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PROFESONAL DE

MATEMÁTICA

“Año del Fortalecimiento de la soberanía Nacional”

3.Yulissa estudiante de matemática, tiene un cajón con forma de

cubo que tiene su volumen de (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 , desarrollar utilizando el
teorema del binomio de Newton y encontrar el tercer término.

PRIMERA FORMA

Teorema del binomio de Newton

(𝑎 + 𝑏)𝑛= ∑ (𝑛

𝑘) 𝑎𝑛−𝑟. 𝑏𝑟

𝑛

𝑟=0

Resolvemos a partir de la siguiente expresión utilizando la propiedad

(2x+1)3

(𝟐𝒙 + 𝟒)𝟐

(2𝑥 + 1)3= (3

0) . (2𝑥)3−0 ∗ 10 + (3

1) . (2𝑥)3−1 ∗ 11 + (3

2) . (2𝑥)3−2 ∗ 12 + (3

3) . (2𝑥)3−3

∗ 13

(2𝑥 + 1)3= (3

0) . (2𝑥)3 ∗ 1 + (3

1) . (2𝑥)2 ∗ 1 + (3

2) . 2𝑥 ∗ 1 + (3

3) . 1 ∗ 1

(2𝑥 + 1)3= (3

0) . 8𝑥3 + (3

1) . 4𝑥2 + (3

2) 2𝑥 + (3

3) . 1 ∗ 1

Calculamos por combinación las expresiones (3

0) , (3

1) , (3

2) (3

3)

𝐶𝑟

𝑛 =

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

•𝐶0

3 =

3!

0!(3−0)!=

3!

1∗3!= 1

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PROGRAMA

PROFESONAL DE

MATEMÁTICA

“Año del Fortalecimiento de la soberanía Nacional”

•𝐶1

3 =

3!

1!(3−1)!=

3!

1!∗2!=

3∗2!

2!= 3

•𝐶2

3 =

3!

2!(3−2)!=

3!

2!∗1!=

3∗2!

2!= 3

•𝐶3

3 =

3!

3!(3−3)!=

3!

3!∗0!= 1

(2𝑥 + 1)3= 1 ∗ 8𝑥3+ 3 ∗ 4𝑥2+ 3 ∗ 2𝑥 + 1

(2𝑥 + 1)3= 8𝑥3+ 12𝑥2+ 6𝑥 + 1

Encontrar el segundo término de (2𝑥 + 1)3

𝑡𝑟 = (
𝑛

𝑟 − 1) ∗ 𝑎𝑛−𝑟+1 ∗ 𝑏𝑟−1

n =3

r = 3

𝑡2 = (
3

3 − 1) ∗ (2𝑥)3−3+1 ∗ (1)3−1

𝑡2 = (3

2) ∗ (2𝑥)1 ∗(1)2

𝑡2 = (3

2) ∗ 2𝑥 ∗ 1

•𝐶2

3 =

3!

2!(3−2)!=

3!

2!∗1!=

3∗2!

2!= 3

𝑡2 = 3 ∗ 2𝑥 ∗ 1

𝑡2 = 𝟔𝒙

El segundo término de la expresión (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 𝒆𝒔 𝟔𝒙

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PROGRAMA

PROFESONAL DE

MATEMÁTICA

“Año del Fortalecimiento de la soberanía Nacional”

SEGUNDA FORMA

Resolvemos

(2𝑥 + 1)3= 1(2𝑥)3∗ (1)0+ 3(2𝑥)2(1)1+ 3(2𝑥)1(1)2+ 1(2𝑥)0(1)3

(2𝑥 + 1)3= 1 ∗ 8𝑥3∗ 1 + 3 ∗ 4𝑥2∗ 1 + 2 ∗ 3𝑥 ∗ 1 + 1 ∗ 1

(2𝑥 + 1)3= 8𝑥3∗ 1 + 12𝑥2∗ 1 + 6𝑥 ∗ 1 + 1 ∗ 1

(2𝑥 + 1)3= 8𝑥3+ 12𝑥2+ 6𝑥 + 1

El segundo término de la expresión (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟑 𝒆𝒔 𝟔𝒙