การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

สอนโดย นางสาวศิริลักษณ์ ร่องพืช กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

​การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

​

​การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
                   ตัวอย่าง   ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว 
                          3x²+ 4x + 5 , 2x²– 6x – 1 , x²– 9 , y²+ 3y – 7 , -y²+ 8y

                    พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a , b , c   

         เป็นค่าคงตัวที่  a ≠ 0  และ  x  เป็นตัวแปร

         การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                     ในรูป  ax² + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0
                     ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax²+ bx  สามารถใช้สมบัติ

         การแจกแจงแยกตัวประกอบได้

           

      

​

​  ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x² + 2x

            วิธีทำ       x² + 2x       =   (x)(x) + (2)(x) 

                                             =   x(x + 2) 

  ตัวย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4x² - 20x

            วิธีทำ      4x² - 20x      =   (4x)(x) - (4x)(5)

                                              =   4x(x - 5)

  ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  -4x² - 6x

            วิธีทำ       -4x² - 6x      =   -2x(2x + 3)

                     หรือ     -4x² - 6x     =    2x(-2x - 3)

  ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  -15x² + 12x

           วิธีทำ      -15x² + 12x    =   (3x)(-5x) + (3x)(4)

                                                   =   3x(-5x + 4)

                     หรือ     -15x² + 12x  =   (-3x)(-5x) - (-3x)(4)
                                                   =   -3x(5x - 4)

​

​การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว ในรูป  ax² + bx + c 

เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

        ในกรณีที่   a = 1  และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว จะอยู่ในรูป  x²  +  bx  +  c

สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้ โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม ดังตัวอย่างต่อไปนี้

        จากการหาผลคูณ  ( x +2 )( x + 3 )  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ  x² + 5x + 6 

โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้
x² + 5x + 6   =  x² + (2 + 3)x + (2)(3)    [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]
  =  x² + (2x + 3x) + (2)(3)

                                        =  (x² + 2x) + [3x + (2)(3)] 
                                        =  (x + 2)x + (x + 2)(3)

                                        =  (x + 2)(x + 3)

           นั่นคือ     x² + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

​

พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

                1.   (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3) 
                                               =  (x² + 2x)+ [3x + (2)(3)]  

                                               =  x² + (2x+ 3x) + (2)(3)

                                               =  x² + (2+ 3)x + (2)(3)
                                               =  x² + 5x + 6

                        ดังนั้น  แยกตัวประกอบของ  x² + 5x + 6  ได้ดังนี้   x² + 5x + 6   = (x + 2)(x + 3) 

     ให้สังเกตว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x²+ 5x + 6  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6 

และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  5

            (x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5) 
                                      =   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)] 
                                      =   x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5) 
                                      =   x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5) 
                                      =   x² + (-1)x + (-20)  

                                      =   x²  -  x  - 20 
                      ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x² - x - 20   ได้ดังนี้  x² - x - 20   = (x + 4)(x – 5)

​

จากการหาผลคูณ    (x + 4)(x -5)  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ  x²- x – 20  

  โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

                 x²- x – 20    =   x² + (-1)x + (-20)

                                      =   x² + [4 + (-5)] x + (4)(-5) [4 + (-5) = -1   และ  (4)(-5) = -20 ]
                                      =   x² + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

                                      =   (x² + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

                                      =   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

                                      =   (x + 4)[x + (-5)]

                                      =   (x + 4)(x -5)

       นั่นคือ     x² - x - 20   =   (x + 4)(x - 5)

        ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า เราจะแยกตัวประกอบของ  x²- x – 20  ได้ ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน

ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  -20  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ x  คือ  -1

​

จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้  ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง  เช่น   x²+ 6x + 8  
เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  8  และบวกกันได้  6  ก่อน  ดังนี้
            
             เนื่องจาก     x² + 6x + 8  =  x² + (2 + 4)x + (2)(4)

                                                 =  x² + (2x + 4x) + (2)(4) 

                                                 =  (x² + 2x) + [4x + (2)(4)]

                                                 =  (x + 2)x + (x + 2)(4)

                                                 =  (x + 2)(x + 4) 

                   นั่นคือ    x² + 6x + 8     =    (x + 2)(x + 4) 

​

เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป   x² + bx + c  เมื่อ  b , c เป็นจำนวนเต็ม และ  c ≠ 0  ได้ 

ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่ เป็นค่าคงตัวคือ  c  และบวกกันได้ เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  b

                ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน  ซึ่ง  mn  =  c  และ  m + n  =  b  

                จะได้ว่า     x² + bx + c    =    (x + m)(x + n)

​

ตัวอย่างที่ 5     จงแยกตัวประกอบของ  x² – 10x + 21

               วิธีทำ              เนื่องจาก (-3)(-7)   =   21
                        และ            (-3) + (-7)   =   -10

                         ดังนั้น     x² – 10x + 21   =   [ x + (-3)][ x + (-7)] 

                        นั่นคือ     x² – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )          
              
              ตัวอย่างที่ 6     จงแยกตัวประกอบของ  x² + 5x - 6

               วิธีทำ              เนื่องจาก  (-1)(6)   =   - 6 
                           และ            (-1) + (6)   =    5

                         ดังนั้น      x² + 5x - 6    =   [ x + (-1)][ x + 6] 

                        นั่นคือ     x² – 10x + 21   =  ( x - 1 )( x + 6 )          

Multiple Choice

1. ข้อใดเป็นตัวประกอบของ x² + 6x + 9

• (x + 3)

• (x - 3)

• (x - 3)(x + 3)

• (x - 3)²

Multiple Choice

2. ข้อใด ไม่ เป็นตัวประกอบของ 14y + 26z

• 2

• (7y + 13z)

• 2(7y + 13z)

• 7

Multiple Choice

3. ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของพหุนาม y³ + 4y

• y(y² + 4y)

• 4y(y² + 1)

• (y² + 4)y

• (y³ + 4)y

Multiple Choice

4. ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของพหุนาม (x + y)z - (x + y)

• (x + y)(x + 1)

• (x + y)(z +1)

• (z + 1)(x + 1)

• (x + y)(z - 1)

Multiple Choice

5. ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของพหุนาม -7x² z³ + 63xz⁵

• 7xz³ (9z² - x)

• -7xz³ (x + 9xz²)

• 7xz³ (x + 9xz²)

• xz³ (-x + 9xz²)

Multiple Choice

6. ข้อใดเป็นตัวประกอบของพหุนาม 5a - 10x + ab -2bx

• a

• b

• (5 + b)

• (5 + x)

Multiple Choice

7. ข้อใดเป็นตัวประกอบของพหุนาม m(n + 5) + 2(n + 5)

• m

• n

• (5 + m)

• (5 + n)

Multiple Choice

8. ข้อใดเป็นตัวประกอบของพหุนาม na + 3b + nb +3a

• n + 3

• n + a

• 5 + a

• 3 + b

Multiple Choice

9. ข้อใดเป็นตัวประกอบของพหุนาม 2x² (x + 7) - (x + 7)

• 2x² - 1 และ x - 7

• 2x² - 1 และ x + 7

• -2x² - 1 และ x + 7

• -2x² + 1 และ x + 7

Multiple Choice

10. ข้อใดเป็นการแยกตัวประกอบของพหุนาม 3z² - 2z

• z(3 - 2)

• 3z(z - 2)

• z( -1 )

• z(3z² - 2)