Függvények

Függvények

A függvény fogalma

Adott két nem üres halmaz, A és B. Ha A halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, a B halmaz a függvény képhalmaza. A B halmaz azon elemeinek halmazát, melyeket hozzárendeltük valamely értelmezési tartománybeli elemhez, a függvény értékkészletének nevezzük.

Függvény hozzárendelési szabálya

A függvény meghatározásakor meg kell adni az értelmezési tartományát, képhalmazát, és valamilyen formában a hozzárendelést is. Sokszor ezt úgy tesszük, hogy megadjuk a hozzárendelés szabályát.

Pl.: Amikor minden egész számhoz az abszolút értékét rendeljük, ezt így írhatjuk:

A halmazábra egy osztályzenekar összetételét mutatja:

1. Mit olvashatunk le az ábráról?

2. Hogyan változna a hozzárendelés, ha Kati zongorázni is tudna?

3. Hogyan változna a hozzárendelés, ha Béla nem játszana az együttesben?

​Kati	Lajos​	​Béla	Andi​
​gitár	dob​	​gitár	zongora​

​a) Mit olvashatunk le az ábráról?

Az ábrán egy függvényt adtunk meg. Jelöljük f -fel! Most 𝐷𝑓 = {Kati, Lajos, Béla, Andi}, 𝑅f={zongora, gitár, dob} A nyilak azt mutatják, hogy Andi zongorázik, Kati és Béla gitározik, Lajos pedig dobol. A kapcsolatokat táblázattal is szemléltethetjük.

​Helyettesítési értékekkel leírva: 𝑓(Kati)=gitár; 𝑓(Lajos)=dob; 𝑓(Béla)=gitár; 𝑓(Andi)=zongora. Itt a függvényt megadhatjuk szavakkal, halmazábrával, a helyettesítési értékekkel vagy táblázattal is. Grafikont természetesen nem készíthetünk, mert nem számokról van szó.

​b) Hogyan változna a hozzárendelés, ha Kati zongorázni is tudna?

Ebben az esetben nem beszélhetünk függvényről, mert Katihoz két értéket (gitár, zongora) rendelünk, vagyis nem egyértelmű a hozzárendelés. A függvény minden esetben egyértelmű hozzárendelés, azaz egy értelmezési tartománybeli elemhez egyetlen képhalmazbeli elem tartozhat.

​Kati	Lajos​	​Béla	Andi​
​gitár, zongora	dob​	​gitár	zongora​

​c) Hogyan változna a hozzárendelés, ha Béla nem játszana az együttesben?

Azért érdekes ez az eset, mert ekkor minden hangszerről el tudjuk dönteni, hogy ki játszik rajta. Visszafelé is egyértelmű a kapcsolat, azaz függvény lenne az a hozzárendelés is, ha a hangszerhez rendeljük hozzá, hogy ki játszik rajta. A mindkét irányban egyértelmű hozzárendeléseket kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük.

Multiple Choice

Melyik szimbólumot használjuk az egész számok halmazára? Milyen számokat jelöl a másik jelölés. Mondj példákat mind a három esetre.

• Z

• R

• N

​Egy függvény minden

a) egész számhoz

b) valós számhoz

a nála 3-mal kisebb szám abszolút értékét rendeli hozzá. Mi az értelmezési tartományuk és értékkészletük? Add meg a hozzárendelési szabályukat! Ábrázold a függvényeket koordináta-rendszerben!

​Megoldás

​Ha egy függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza (R), azt nem kötelező kiírni. Ha tehát egy függvény megadásakor csak a hozzárendelési szabályt látjuk, akkor ennek a függvénynek az értelmezési tartománya R.

​Az alábbi grafikonok ismeretében válaszolj a kérdésekre!

1. Melyik függvénynek mi az értelmezési tartománya?

2. Melyik függvénynek mi az értékkészlete?

3. Melyik függvénynek lehet képhalmaza a pozitív számok halmaza?

4. Melyik függvénynek lehet képhalmaza az egész számok halmaza?

5. Készíts táblázatot és halmazábrát a B) grafikon alapján!

Multiple Choice

Melyik függvénynek mi az értelmezési tartománya?

Multiple Choice

Melyik függvénynek mi az értékkészlete

Multiple Choice

Melyik függvénynek lehet képhalmaza az egész számok halmaza?

Multiple Choice

Melyik függvénynek lehet képhalmaza az egész számok halmaza?

Multiple Choice

• Függvény

• Nem függvény

Multiple Choice

Függvények esetén az alaphalmaz neve értelmezési tartomány

• azok az x helyek, amikhez a függvény rendel valamit a képhalmazból

• azok az y helyek, amikhez a függvény rendel valamit a képhalmazból

A következő  két függvény hozzárendelési szabálya megegyezik, de más az éretelmezési tartományuk. Az első esetben minden valós szám, a másodikban az egész számok:

Multiple Choice

• 1

• 2

• 3

• 4