8, 2018/2019, ШК

Всероссийская олимпиада школьников по математике

2018–2019 уч. г.

Школьный этап

8 класс

Poll

Готов к разминке?

• Да!

• ДААА!

Устный счёт :)

Multiple Choice

13 + 28 =

• 31

• 41

• 42

• 32

• 51

Multiple Choice

23 $$\times$$ 4 =

• 92

• 72

• 82

• 102

• Не знаю

Multiple Choice

64 $$\div$$ 8 =

• 8,1

• 88

• 80

• 8

• 18

Multiple Choice

96 - 9 =

• 87

• 78

• 83

• 77

• 89

Разогрелись, теперь поработаем!

Задача 1.

В числовом выражении некоторые цифры заменили буквами (разные цифры — разными буквами, одинаковые цифры — одинаковыми буквами).

Получилось следующее:

2018A : BCD = AA .

Какое числовое выражение было записано изначально? (Достаточно привести пример. 2018A изначально было пятизначным числом.)

Задача 2.

В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети, Вася, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть — Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше?

Задача 2.

В мешке у Деда Мороза находятся меньше ста подарков для Пети, Вася, Бори и Лёши. Дед Мороз отдал половину подарков Пете, пятую часть — Васе, седьмую часть — Боре. Сколько подарков досталось Лёше?

Ответ: 11.

Решение. Чтобы Дед Мороз мог отдать половину подарков Пете, общее количество подарков в его мешке должно делиться на 2. Также, поскольку он отдал пятую часть Васе, а седьмую часть Боре, общее количество подарков должно делиться на 5 и на 7. Таким образом, количество подарков должно делиться на НОК(2, 5, 7) = 2 · 5 · 7 = 70. По условию задачи количество подарков меньше ста, поэтому их может быть только 70. Тогда Пете он отдал 70 : 2 = 35 подарков, Васе — 70 : 5 = 14 подарков, а Боре — 70 : 7 = 10 подарков. Таким образом, Лёше он отдал 70 − 35 − 14 − 10 = 11 подарков.

Задача 3.

Карина достала из коробка несколько спичек и собрала из них сетку 3 × 7 из квадратиков со стороной в одну спичку, как на рисунке ниже. Какое минимальное количество спичек ей нужно ещё достать из коробки, чтобы из всех спичек она смогла собрать сетку в форме квадрата? (Квадратики сетки опять должны иметь сторону в одну спичку. Лишних спичек остаться не должно.)

Multiple Choice

Задача 3.

Карина достала из коробка несколько спичек и собрала из них сетку 3 × 7 из квадратиков со стороной в одну спичку, как на рисунке ниже. Какое минимальное количество спичек ей нужно ещё достать из коробки, чтобы из всех спичек она смогла собрать сетку в форме квадрата? (Квадратики сетки опять должны иметь сторону в одну спичку. Лишних спичек остаться не должно.)

• 9

• 15

• 8

• 7

• 11

Задача 3.

Карина достала из коробка несколько спичек и собрала из них сетку 3 × 7 из квадратиков со стороной в одну спичку, как на рисунке ниже. Какое минимальное количество спичек ей нужно ещё достать из коробки, чтобы из всех спичек она смогла собрать сетку в форме квадрата? (Квадратики сетки опять должны иметь сторону в одну спичку. Лишних спичек остаться не должно.)

Задача 4.

На школьном спектакле все 25 мест в первом ряду заняты школьниками. Известно, что

• никакие две девочки в этом ряду не сидят рядом;

• рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик;

• всего в первом ряду сидят 9 девочек.

Могло ли так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик? (Ответ обоснуйте.)

Multiple Choice

Задача 4.

На школьном спектакле все 25 мест в первом ряду заняты школьниками. Известно, что

• никакие две девочки в этом ряду не сидят рядом;

• рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик;

• всего в первом ряду сидят 9 девочек.

Могло ли так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик?

• Могло, потому что рассадка детей определяется однозначно.

• Не могло, потому что рассадка детей определяется однозначно.

• Могло, потому что рассадка детей определяется не однозначно.

• Не могло, потому что рассадка детей не определяется однозначно.

Задача 4.

На школьном спектакле все 25 мест в первом ряду заняты школьниками. Известно, что

• никакие две девочки в этом ряду не сидят рядом;

• рядом с каждым мальчиком сидит ещё хотя бы один мальчик;

• всего в первом ряду сидят 9 девочек.

Могло ли так оказаться, что на центральном месте в ряду сидит мальчик? (Ответ обоснуйте.)

Ответ: нет, не могло. Решение. Поскольку никакие две девочки не сидят рядом, каждая девочка сидит между двумя мальчиками. Таким образом, весь ряд представляет собой «группы» подряд сидящих мальчиков, причём между соседними группами мальчиков сидит ровно одна девочка. По условию рядом с каждым мальчиком сидит ещё один мальчик, поэтому в каждой группе находятся хотя бы 2 мальчика. А так как всего девочек 9, то групп мальчиков хотя бы 8. Получается, что всего детей хотя бы 9 + 2 · 8 = 25. Но их ровно 25, значит, групп мальчиков ровно 8, и в каждой группе ровно 2 человека. Тогда рассадка детей восстанавливается однозначно, и на девятом месте сидит девочка.

Draw

Постройте график функции $$y\ =\ \frac{x^2}{\left|x\right|}$$

Задача 6.

Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что ∠BAC = ∠BDA и ∠BAD = ∠ADC = 60◦ . Найдите длину AD, если известно, что AB = 14, CD = 6.

Задача 6.

Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что ∠BAC = ∠BDA и ∠BAD = ∠ADC = 60◦ . Найдите длину AD, если известно, что AB = 14, CD = 6.

Ответ: 20.

Решение. Продлим AB и CD до пересечения в точке P. Поскольку ∠P AD = ∠ADP = 60◦ , то треугольник ADP является равносторонним. Далее заметим, что треугольник AP C равен треугольнику DAB, поскольку AP = AB, ∠AP C = 60◦ = ∠DAB и ∠P AC = ∠ADB (рис. 2). Поэтому P C = AB = 14, и AD = P D = P C + CD = 14 + 6 = 20.

Poll

Понравился урок?

• ДА

• Да

• Пойдёт

• Лучше, чем обычно