LOGIKA MATEMATIKA - PAKET C

Oleh

I WAYAN ETA PURWANTO

LOGIKA MATEMATIKA

 Logika adalah ilmu yang mempelajari secara sistematis

kaidah-kaidah penalaran yang absah/valid.

 Ada dua macam penalaran, yaitu: penalaran deduktif dan

penalaran induktif.

Penalaran deduktif

 Penalaran deduktif adalah penalaran yang didasarkan

pada premis-premis yang diandaikan benar untuk
menarik suatu kesimpulan dengan mengikuti pola
penalaran tertentu.

 Contoh:

Premis 1

:

Semua mahasiswa baru mengikuti
OSPEK.

Premis 2

:

Wulandari adalah mahasiswa baru.

Kesimpulan :

Wulandari mengikuti OSPEK.

Penalaran induktif

 Penalaran induktif adalah penalaran yang didasarkan pada premis-premis

yang bersifat faktual untuk menarik kesimpulan yang berlaku umum.

 Contoh:

Premis 1

:

Ayam-1 berkembang biak dengan telur.

Premis 2

:

Ayam-2 berkembang biak dengan telur.

Premis 3

:

Ayam-3 berkembang biak dengan telur.

Premis 4

:

Ayam-4 berkembang biak dengan telur.

:
:
:
Premis 50

:

Ayam-50 berkembang biak dengan telur.

Kesimpulan

:

Semua ayam berkembang biak dengan telur.

Logika Matematika

 Logika Matematika/Logika Simbol ialah Logika yang

menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan
lambang-lambang atau simbol- simbol.

 Keuntungan/ kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas,

univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai
dimana-mana.

 Logika mempelajari cara penalaran manusia, sedangkan

penalaran seseorang diungkapkan dalam bahasa berupa
kalimat-kalimat. Dengan demikian logika mempelajari
kalimat-kalimat yang mengungkapkan atau merumuskan
penalaran manusia.

PERNYATAAN

 Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai kebenaran

(benar atau salah). Pernyataan yang tidak mengandung kata
hubung kalimat disebut pernyataan primer/pernyataan
tunggal/pernyataan atom, sedangkan pernyataan yang
mengandung satu atau lebih kata hubung kalimat disebut
pernyataan majemuk.

PERNYATAAN

 Contoh:

1. Bangkok adalah ibukotaThailand.
2. 9 adalah bilangan genap.
3. Badak itu memiliki gading.
4. 3 lebih tua daripada 5
5. Setahun terdiri dari 52 minggu.
6. 8 + 4 = 12
7. Mengapa kamu menangis?
8. 3 > 5
9. Ambilkan aku kue itu!
10.Semoga kamu lekas sembuh!

Selidikilah kalimat-kalimat tersebut !

PERNYATAAN

 Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran

B (benar), sedangkan pernyataan yang salah dikatakan
mempunyai nilai kebenaran S (salah).

 Catatan:

Nilai kebenaran suatu pernyataan kadang-kadang ditulis
dengan lambang angka 1 atau 0. Angka 1 ekuivalen dengan
nilai kebenaran B, sedangkan angka 0 ekuivalen dengan nilai
kebenaran S. Lambang nilai kebenaran 1 dan 0 biasanya
digunakan untuk menganalisis suatu jaringan listrik

PERNYATAAN

 Kebenaran suatu pernyatan dibedakan menjadi dua, yaitu:

a)

Kebenaran faktual, yaitu kesesuaian antara isi peryataan dan
fakta sesungguhnya.

b)

Kebenaran logis, yaitu kesesuaian dengan aturan-aturan
logika.

 Dalam ilmu pengetahuan kita selalu berbicara mengenai

obyek-obyek yang terbatas, tidak mengenai segala sesuatu.
Keseluruhan obyek-obyek (terbatas) yang menjadi bahan
pembicaraan yang sedang kita lakukan disebut semesta
pembicaraan atau semesta saja dan disingkat S.

PERNYATAAN

 Untuk membicarakan anggota-anggota dari semesta biasanya

digunakan lambang. Ada dua macam lambang, yaitu:

a)

Konstanta, adalah lambang yang digunakan untuk
menunjuk atau membicarakan anggota tertentu dari
semesta.

b)

Peubah, adalah lambang yang digunakan untuk menunjuk
atau membicarakan anggota yang tidak tertentu
(sembarang) dari semesta.

 Peubah bilangan dan disajikan dengan huruf-huruf kecil x,y,z

 Peubah pernyataan dan disajikan dengan huruf-huruf kecil

p,q,r dst.

Kalimat terbuka

 Kalimat terbuka ialah kalimat yang memuat peubah, sehingga belum

dapat di tentukan nilai kebenarannya.

 Kalimat semacam ini masih “terbuka” untuk menjadi pernyataan yang

benar atau yang salah.

 Contoh:

a.

x adalah bilangan bulat.

b.

x + 2 > 10

c.

x2-3x + 5 = 0

d.

y = 2x + 1

 Kita dapat mengubah suatu kalimat terbuka menjadi peryataan dengan

mengganti (mensubstitusikan) semua peubah yang termuat di
dalamnya dengan konstanta dari semestanya. Pernyataan yang
dihasilkan bisa bernilai benar, bisa bernilai salah.

Kalimat terbuka

 Himpunan penyelesaian dari suatu kalimat terbuka ialah himpunan

semua anggota dari S yang bila lambangnya disubstitusikan ke
dalam peubah dari kalimat terbuka itu akan menghasikan
pernyataan yang benar.

 Contoh:

S = {Bil. Asli }
a.

x + 2 > 10 -→ H.P = {9,10,11,12,…..}

b.

x2– x – 6 = 0
(x-3) (x + 2 = 0 --→ HP ={3}

c.

x + 1 > 0 -→ HP = S

d.

(2x-1)(x + 3) = 0 → HP = { }

 Himpunan penyelesaian harus memuat semua elemen dari semesta

yang menghasilkan pernyataan benar.

INGKARAN

 Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain

yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau
menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula.

 Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang

atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”.

 Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai

salah dan sebaliknya.

p

p

B

S

S

B

p

INGKARAN

 Contoh :

 Jikustik adalah sebuah kelompok band yang berasal dari

Yogyakarta. (benar)
Tidak benar bahwa Jikustik adalah sebuah kelompok band
yang berasal dari Yogyakarta. ( salah)
Jikustik bukan sebuah kelompok band yang berasal dari
Yogyakarta. (salah)

 Manusia mempunyai ekor (salah)

Manusia tidak mempunyai ekor ( benar)

Pernyataan Majemuk

 Pernyataan Majemuk ialah pernyataan yang terdiri dari

beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan
menggunakan kata hubung.

 Dalam Logika Matematika terdapat empat macam kata

hubung, yaitu: (1) …..dan….., (2) …..atau….., (3) bila
………,maka…… (4) ….. bila dan hanya bila …….

Pernyataan Majemuk

 Contoh :

a. Yogyakarta adalah kota pelajar dan (Yogyakarta) memiliki

banyak objek wisata.

b. Kurnia pergi ke kampus atau ia nonton film.
c. Bila air dipanaskan, maka ia akan mendidih.
d. Medan ibukota Sumatera Utara bila dan hanya bila

Semarang ibukota Jawa Timur.

 Pernyataan majemuk diatas berturut-turut disebut:

konjungsi, disjungsi, implikasi, dan ekuivalensi/biimplikasi.

Pernyataan Majemuk

 Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk ditentukan

oleh: nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan
tunggalnya dan kata hubung apa yang digunakan.

 Karena masing-masing pernyataan tunggalnya bisa bernilai

benar atau salah, maka ada empat kemungkinan nilai
kebenaran dari suatu pernyataan majemuk.

Konjungsi

 Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan

kata hubung ”dan” Kata hubung “dan” disajikan dengan
lambang “”.

 Definisi:

Suatu konjungsi bernilai benar hanya bila ke dua pernyataan
tunggalnya bernilai benar.

p

q

p  q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

S

Konjungsi

 Contoh :

a.

Indonesia adalah negara Republik dan berpenduduk 200
juta jiwa.

b.

Kerbau berkaki empat dan dapat terbang.

c.

3 adalah bilangan genap dan habis di bagi lima.

Disjungsi

 Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata

hubung “atau” Kata hubung “atau” disajikan dengan lambang “”.

 Dalam Logika Matematika juga dibedakan dua macam “atau“ Yang

pertama disebut Disjungsi Inklusif (dengan lambang ””) dan yang
kedua disebut Disjungsi Eksklusif (dengan lambang ” ”).

 Definisi:

a.

Suatu disjungsi inklusif bernilai benar bila sekurang-
kurangnya salah satu pernyataan tunggalnya benar.

b.

Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu (dan
tidak kedua-duanya) dari pernyataan tunggalnya benar.



Disjungsi

p

q

p q

B

B

B

B

S

B

S

B

B

S

S

S

p

q

p q

B

B

S

B

S

B

S

B

B

S

S

S





Disjungsi

 Contoh :

a.

Pak Hartono berlangganan harian Kompas atau
Kedaulatan Rakyat.

b.

Anisa pergi ke perpustakaan atau ke kantin.

c.

5 ≤ 6 (5 kurang dari atau sama dengan 6)

d.

A B adalah himpunan semua elemen yang menjadi
anggota himpunan A atau himpunan B.

e.

Bila diketahui bahwa x.y = 0, maka dapat disimpulkan
bahwa x =0 atau y = 0.

 Kalau tidak dikatakan apa-apa, maka dalam Matematika

biasanya yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.



Implikasi

 Implikasi adalah peryataan majemuk yang menggunakan

kata hubung ”bila …., maka ….”

 Pernyataan tunggal yang pertama disebut anteseden dan

yang kedua disebut konsekuen.

 Kata hubung ”bila …., maka ….” disajikan dengan

lambang ” ”



Implikasi

 Dalam bahasa sehari-hari kita memakai implikasi dalam

bermacam-macam arti, misalnya:

a)

Untuk menyatakan suatu syarat: “Bila kamu tidak membeli
karcis, maka kamu tidak akan diperbolehkan masuk”.

b)

Untuk menyatakan suatu hubungan sebab akibat:” Bila
kehujanan, maka Tono pasti sakit”.

c)

Untuk menyatakan suatu tanda:”Bila bel berbunyi, maka
mahasiswa masuk ke dalam ruang kuliah.

Implikasi

 Definisi:

Suatu implikasi bernilai benar bila antesedennya salah atau
konsekuennya benar (jadi suatu Implikasi bernilai salah hanya
apabila anteseden benar dan konsekuennya salah).

p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B



 Contoh
a)

BilaAnindita adalah seorang pria, maka ia akan mempunyai
kumis.

b)

Bila bumi berputar dari timur ke barat maka matahari akan
terbit disebelah barat.

c)

Bila berat jenis besi lebih dari satu, maka ia akan terapung dalam
air.

d)

Bila berat jenis besi lebih besat dari satu, maka ia akan terapung
dalam air.

e)

Bila 3 > 2, maka 6 > 4

f)

Bila 3 < 2, maka – 3 > – 2

g)

Bila x > 10, maka x > 5

 Untuk mengucapkan (menyatakan ) suatu implikasi sebagai

suatu pernyataan yang benar ada 3 cara .

 Misalnya : mengucapkan “A B” dengan cara:

1.

“BilaA, maka B”

2.

“B bila A”

3.

“A hanya bila B” (karena bila tidak B atau B salah, maka
juga tidakA atauA salah; lihat baris keempat tabel
kebenaran implikasi ).



 A B

 B juga disebut syarat perlu untuk A.

(Suatu syarat disebut syarat perlu bila tidak terpenuhinya
(salahnya ) syarat tersebut mengakibatkan tidak terjadinya apa
yang disyaratkan ).

 A diatas disebut syarat cukup untuk B, karena bila A terjadi (

benar) maka B juga berjadi (benar). Lihat baris pertama tabel
kebenaran implikasi.
(Suatu syarat disebut syarat cukup bila terpenuhinya syarat
tersebut mengakibatkan terjadinya apa yang disyaratkannya).



Implikasi

 Contoh:

 Bila x adalah bilangan genap, maka x habis dibagi 2. x habis

dibagi 2 bila x adalah bilangan genap.
x adalah bilangan genap hanya bila x habis di bagi 2.
“x habis di bagi 2 “ merupakan syarat perlu agar “ x adalah
bilangan bulat “
“x adalah bilangan bulat “ merupakan syarat cukup untuk “x
habis di bagi 2 “

Implikasi

 Tugas 1

1.

Carilah pengertian konvers, invers dan kontraposisi dari
implikasi.

2.

Berilah contoh konvers,invers, dan kontraposisi, (2
pernyataan implikasi).

3. Lengkapilah tabel berikut ini!
Tentukan kolom mana yang memiliki nilai kebenaran yang
sama!

1

2

3

4

5

6

7

8

p

q

p q

q  p

~p

~q

~p  ~q

~ q  ~p

B

B

B

S

S

B

S

S

pqpqp

Ekuivalensi ( Biimplikasi)

 Peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung “Bila

dan hanya bila” disebut ekuivalensi atau biimplikasi. Kata
hubung tersebut disajikan dengan lambanga “ ”

 Definisi:

Suatu ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan
tunggalnya mempunyai nilai kebenaran yang sama.



p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

S

S

S

B





Ekuivalensi ( Biimplikasi)

 Contoh:

Suatu segitiga disebut sama kaki bila dan bila segitiga itu
mempunyai dua sisi yang sama panjang (maksudnya suatu
ekuivalensi:”bila dan hanya bila”)

Tugas 2: lengkapi tabel berikut ini!
Tentukan kolom mana yang memiliki nilai
kebenaran yang sama!

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

p

q

p  q

~(p  q)

p  q~(p  q)

~p

~q

~p  ~q

~p  ~q

B

B

B

S

S

B

S

S

qp 

qp pqpqpq