Factoriali

Unul dintre conceptele cele mai de bază ale permutărilor și combinărilor este utilizarea notației factoriale. Folosind conceptul de factoriali, multe lucruri complicate sunt mai simple. Utilizarea ! a fost început de Christian Kramp în 1808. Deși pot părea foarte simple, utilizarea notației factoriale pentru numere întregi și fracții non-negative este un pic complicată. Aplicațiile variază de la algebră simplă la calcul și este folosită și pentru a găsi probabilități.

Definiție și proprietăți

Să ne familiarizăm mai întâi cu definiția factorialului și apoi vom discuta despre unele proprietăți asociate cu factorial.

Definiție

Pentru toate numerele întregi pozitive, n! (a se citi ca factorialul lui n) este definită ca fiind

n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1.

În cuvinte, n! este produsul tuturor numerelor întregi pozitive mai mici sau egale cu n.

Iată câteva exemple bazate pe definiția de mai sus:

Fill in the Blanks

Evaluați 5!.

Soluție

Avem

5!=5×4×3×2×1=120. □​​

Fill in the Blanks

Evaluați $\frac{10!}{6!}$ ​.

Soluție

Fill in the Blanks

Evaluați 4!×3!.

Soluți

Avem

4!×3!=(4×3×2×1)×(3×2×1)=24×6=144. □

Fill in the Blanks

Dacă x!=1, câte valori diferite poate avea ?

Soluție

Avem

0!=1, 1!=1.

Deci 2 valori ale lui x satisfac ecuația dată. □​

Multiple Choice

Evaluați $$\frac{3!}{5!}$$ ​.

• $$\frac{1}{20}$$

• $$\frac{1}{4}$$

• 20

• $$\frac{1}{5}$$

Soluție

Acum puteți rezolva cu ușurință următoarele probleme:

Fill in the Blanks

Dacă n!=3! ×5! ×7! , cât este n?

Soluție

3!=1×2×3

5!=1×2×3×4×5

7!=1×2×3×4×5×6×7

3!×5!×7!=1³×2³×3³×4²×5²×6×7

Putem rearanja termenii extinși pentru a obține

1×2×3×4×5×6×7×(4×2)×(3×3)×(5×2)=10!

n!=10!

n=10

Fill in the Blanks

$\frac{1}{8!}+\frac{1}{9!}=\frac{x}{10!}$

Găsiți valoarea lui x ce satisface ecuația de mai sus.

Notație: ! reprezintă notația factorială. De exemplu 8!=1×2×3×⋯×8.

Soluție

Demonstrație

Acum, să demonstrăm că 0!=1.

Demonstrație

Fill in the Blanks

Evaluați $\frac{8!}{8}$ ​.

Soluție

Fill in the Blanks

Evaluați $\frac{8!\cdot7!}{6!\cdot5!}.$ ​

Soluție

Fill in the Blanks

Găsiți cea mai mare putere a lui 125 care se împarte la 100!.

Notație: ! reprezintă notația factorială. De exemplu 8!=1×2×3×⋯×8.

Soluție

125=5³, deci 125ⁿ=5³ⁿ

Trebuie să găsim cel mai mare n astfel încât5³ⁿ∣100!. Pentru ca acest lucru să fie adevărat, trebuie să existe 3n puteri ale lui 5 în factorizarea primă a lui 100!. Deoarece

100!=100⋅99...=2²⋅5²⋅3²⋅11...1

numărăm numerele ≤100 a căror factorizare primă conține 5, deoarece acestea sunt singurele numere care vor contribui cu un 5 la factorizarea primă a lui 100!. Numărăm multipli de 25 de 2 ori deoarece conțin 5² în factorizarea lor primă, și, prin urmare, contribuie cu doi de 5 la factorizarea primă a lui 100!:

5,10,15,20,25,25,30,35,40,45,50,50,55,60,65,70,75,75,80,85,90,95,100,100

Avem 24 de numere, ceea ce înseamnă că 100! conţine 5²⁴ în factorizarea sa principală. Deci

5³ⁿ=5²⁴

n​=8

Factorial dublu:

Acum, să vorbim despre ce sunt factorialii dubli. Acest tip de factorial este notat cu n!!. Este un tip de multifactorial care va fi discutat în această lecție. În ceea ce privește dubla factorială, se termină cu 2 pentru un număr par, și se termină cu 1 pentru un număr impar. Cu alte cuvinte,

• pentru un număr par și n>0, n!!=n×(n−2)×⋯×4×2;

• pentru un număr impar și n>0, n!!=n×(n−2)×⋯×3×1;

• dacă n=0, 0!!=1..

Demonstrație

Fill in the Blanks

Evaluați $\frac{9!}{9!!}$ .

Soluție

Fill in the Blanks

Dacă $\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot...\cdot3\cdot2\cdot1}{100\cdot99}$ ​ poate fi scris ca x! , care este valoarea lui x?

Soluție

Fill in the Blanks

Să presupunem că n!! se definește după cum se arată în figură. Atunci cât este

$\frac{9!}{6!!}:\frac{9!!}{6!}?$ ​

Soluție

Demonstrație

Fill in the Blanks

$\frac{9!}{8!!}:\frac{7!}{6!!}=?$

Notație: (vezi figura alăturată)

Soluție

Demonstrație

Notă: Nu interpreta n!! a fi (n!)!. Ele sunt complet diferite.

Fill in the Blanks

Evaluați $\frac{9!}{8!!}$ ​.

Soluție

Fill in the Blanks

Evaluați $\frac{\left(3!\right)!}{3!!}$ .

Soluție

Demonstrație

Extensie

Ideea de factorial nu se limitează doar la factorial dublu, dar există și multi-factorial!

Rezolvarea problemelor cu factorial - de bază

Fill in the Blanks

Pentru ce întreg n e n! egal cu numărul de secunde în 6 săptămâni?

Încercați să rezolvați acest lucru fără a utiliza un calculator.

Soluție

Sunt 60 de secunde într-un minut, 60 de minute într-o oră, 24 de ore într-o zi, 7 zile într-o săptămână. Prin urmare n!=60×60×24×7×6. Știm că n! conţine 2 factori de 5, prin urmare n≥10. Însă n! nu conține un factor 11, prin urmare n<11. Concluzie: n=10​.

Fill in the Blanks

Câte dintre următoarele 99 de numere întregi sunt numere prime?

100!+2, 100!+3, 100!+4,..., 100!+100​

Soluție

Fill in the Blanks

Evaluați $\frac{\left(10!+9!\right)\left(8!+7!\right)\left(6!+5!\right)\left(4!+3!\right)\left(2!+1!\right)}{\left(10!-9!\right)\left(8!-7!\right)\left(6!-5!\right)\left(4!-3!\right)\left(2!-1!\right)}$ .

Sugestie: Nu trebuie să înmulțiți toți factorialii!

Soluție

Fill in the Blanks

1+2×2!+3×3!+⋯+9×9!=?

Soluție

Rezolvarea problemelor cu factorial - Intermediar

Fill in the Blanks

Având în vedere că n este un întreg pozitiv, câte valori ale lui n satisface ecuația de mai jos?

(n!)!=n!×(n−1)!

Soluție

​Cazul 2: (n−1)! −1=0⇒(n−  1)!=1.

O simplă verificare arată că (1−1)!=0!=1, (2−1)!=1!=1, și orice număr întreg mai mare decât n=2 nu va satisface ecuația. Astfel n=1, n=2 sunt singurele posibilități.

Prin urmare, există 2 soluţii n=1 și n=2.

Fill in the Blanks

Găsiți cea mai mare putere a lui 12 care divide 49!.

Clarificare: 49!=1×2×3×⋯×49.

Soluție

=16+5+1+0+0+0+⋅⋅⋅=22

Așa că ajungem 2⁴⁶∣49!   ⟹ 4²³∣49! și 3²²∣49!. Pentru că 23>22, obținem: 12²²∣49!.

Prin urmare, cea mai mare putere a lui 12 care divide 49! e 22​.

Fill in the Blanks

$x!^{x!^{x!^{.^{.^.}}}}=1$

Având în vedere că x(>0) satisface funcția infinit imbricată de mai sus, găsiți x.

Soluție

Bibliografie

Factorials. Brilliant.org. Retrieved 11:18, June 1, 2023, from https://brilliant.org/wiki/factorials-properties/