Extrem (Local și Global)

O valoare extremă (sau extrem) a unei funcții este un punct în care se obține o valoare maximă sau minimă a funcției într-un anumit interval. Un extrem local (sau extrem relativ) al unei funcții este punctul în care se obține o valoare maximă sau minimă a funcției într-un interval deschis care conține punctul.

Un extrem global (sau extrem absolut) al unei funcții într-un interval dat este punctul în care se obține o valoare maximă sau minimă a funcției. Frecvent, intervalul dat este domeniul funcției, iar extremul global este punctul corespunzător valorii maxime sau minime a întregii funcții.

Punctele de extrem (valori maxime și minime) sunt importante deoarece oferă o mulțime de informații despre o funcție și ajută la răspunsul la întrebările de optimitate. Analiza matematică oferă o varietate de instrumente pentru a ajuta la determinarea rapidă a locației și naturii extremului.

​Această funcție are un extrem global în x = 2 și un extrem locală la în x = -1. Ce alt extrem are?

Un punct x este un maxim sau minim absolut al unei funcții f în intervalul [a, b] dacă f(x)≥f(x′) pentru orice x′∈[a, b] sau dacă f(x)≤f(x′) pentru orice x′∈[a, b]. Punctul x este maximul sau minimul global strict (sau unic) dacă este singurul punct care satisface astfel de constrângeri. Definițiile analoage sunt valabile pentru intervalele
[a, ∞), (−∞,b] și (−∞,∞). Intervalul este de obicei ales pentru a fi domeniul lui f.

Este posibil să nu existe un maxim sau un minim global dacă regiunea este nemărginită în direcția pozitivă sau negativă sau dacă funcția nu este continuă. Dacă funcția nu este continuă (dar este mărginită), va exista în continuare un supremum sau infimum, dar este posibil să nu existe neapărat un extrem global. Dacă funcția este continuă și mărginită și intervalul este închis, atunci trebuie să existe un maxim global și un minim global.

Dacă o funcție nu este continuă, atunci poate avea extrem global în orice punct de discontinuitate. În general, extremul global va fi util numai pentru funcțiile cu cel mult un număr finit de puncte de discontinuitate. Extremul global poate fi găsit luând în considerare aceste puncte împreună cu următoarea metodă pentru porțiuni continue ale funcției.

​Maximul global și minimul global al funcției

​Extrem global

Dacă o funcție este continuă, atunci extremul global poate fi determinat conform următoarei metode. Având în vedere o funcție f și un interval [a, b],

1. Determinați toate punctele critice ale lui f din intervalul [a, b].

2. Determinați valoarea lui f în fiecare dintre punctele sale critice.

3. Determinați valoarea lui f în fiecare dintre punctele finale.

Punctul (punctele) care corespunde (corespund) celor mai mari valori ale lui f reprezintă maximul (maximele) global(e), iar punctul (punctele) corespunzător(e) celor mai mici valori ale lui f reprezintă minimul (minimele) global(e). Celelalte valori pot fi extreme locale.

Fill in the Blanks

Soluție

Extrem local

Un punct x este maximul sau minimul local al unei funcții dacă este valoarea maximă sau minimă globală a unei funcții în intervalul (x−c, x+c) pentru o valoare suficient de mică c.

Multe extreme locale pot fi găsite atunci când se identifică maximul sau minimul absolut al unei funcții.

Având în vedere o funcție f și interval [a, b], extremul local poate fi punct de discontinuitate, punct unde funcția nu este derivabilă sau puncte în care derivata are valoare 0. Cu toate acestea, niciunul dintre aceste puncte nu este neapărat extrem local, astfel încât comportamentul local al funcției trebuie examinat pentru fiecare punct. Adică, având în vedere un punct x, valorile funcției în intervalul (x−c, x+c) trebuie să fie testate pentru o cantitate suficient de mică c.

​Maximele locale ale funcției

​Minimele locale ale funcției

Înainte (a<x)	După (a>x)	Extrem?
f(a)<f(x)	f(a)>f(x)	Nu
f(a)<f(x)	f(a)<f(x)	Maxim
f(a)>f(x)	f(a)<f(x)	Nu
f(a)>f(x)	f(a)>f(x)	Minim

Dacă funcția este de două ori derivabilă în x, atunci există o metodă ceva mai simplă disponibilă.

f′′(x)	Extrem?
Pozitiv	Minim
Negativ	Maxim
Zero	Nu

Fill in the Blanks

Soluție

Soluție

Observați că f(x)=−x pentru x<0, f(x)=0 pentru x=0, și f(x)=x pentru x>0. Atunci f′(x)=−1<0 pentru x<0 și f′(x)=1>0 pentru x>0, ceea ce implică faptul că funcția scade înainte x=0 și crește după x=0. Deci f(x) are un minim local în x=0. Întrucât valoarea acestui minim local este f(0)=0, suma tuturor extremelor locale este 0.□​

Soluție

Fill in the Blanks

Soluție

Există 8 extreme locale: 4 maxime locale și 4 minime locale.

---

Demonstrație:

Definiție: Un extrem local al lui f(x) este un punct, P=(p, f(p)) astfel încât există un mic interval al lui f(x) imediat în jurul lui P, astfel încât f(p) > f(x) pentru orice x≠p din acel interval.

Funcții derivabile

Să presupunem că funcția în cauză este continuă și derivabilă pe interval. Atunci, există câteva comenzi rapide pentru determinarea extremului. Toate extremele locale sunt puncte în care derivata este zero (deși este posibil ca derivata să fie zero și punctul să nu fie extrem local). În timp ce acestea pot fi în continuare puncte finale (în funcție de intervalul în cauză), extremul global poate fi determinat și cu câteva comenzi rapide. Acestea sunt testele derivate.

Primul test derivat presupune că f este o funcție cu valoare reală și [a, b] este un interval pe care f este bine definită și derivabilă. Atunci, dacă c este un punct critic al lui f în [a, b],

1. dacă f′(x)>0 pentru orice x<c și f′(x)<0 pentru orice x>c, atunci f(c) este valoarea maximă a lui f în intervalul [a, b];

2. dacă f′(x)<0 pentru orice x<c și f′(x)>0 pentru orice x>c, atunci f(c) este valoarea minimă a lui f în intervalul [a, b].

În termeni mai simpli, un punct este maximul unei funcții dacă funcția crește înainte și scade după el. În schimb, un punct este minim dacă funcția scade înainte și crește după el.

Al doilea test derivat presupune că f este o funcție cu valoare reală și [a, b] este un interval pe care f este bine definită și de două ori derivabilă. Atunci, dacă c este un punct critic al lui f în [a, b],

1. dacă f′′(x)<0 pentru orice x în [a, b], atunci f(c) este valoarea maximă a lui f în intervalul [a, b];

2. dacă f′′(x)>0 pentru orice x în [a, b], atunci f(c) este valoarea minimă a lui f în intervalul [a, b].

În termeni mai simpli, un punct este maximul unei funcții dacă funcția este concavă, iar un punct este un minim al unei funcții dacă funcția este convexă.

Testele derivate pot fi aplicate și extremelor locale, la un interval suficient de mic. De fapt, al doilea test derivat în sine este suficient pentru a determina dacă un potențial extrem local (pentru o funcție derivabilă) este maxim, minim sau niciunul.

Soluție

Derivabilitatea lui f(x) în ceea ce privește x dă f′(x)=6x²−6=6(x+1)(x−1). Fie f′(x)=0, atunci x=−1, sau x=1. Atunci prin verificarea semnului lui f′(x) în împrejurul lui x=−1 și x=1 ne spune că f′(x)>0 pentru x<−1, f′(x)<0 pentru −1<x<1, și f′(x)>0 pentru x>1. Aceasta implică faptul că f(x) are un maxim local în x=−1 și un minim local în x=1.

Valoarea maximului local este f(−1)=2⋅(−1)³−6⋅(−1)−3=1. Valoarea minimului local este f(1)=2⋅(1)³−6⋅(1)−3=−7. Astfel, suma tuturor extremelor locale este 1−7=−6. □​

Soluție

Derivând f(x) în ceea ce privește x dă f′(x)=3(x−1)². Fie f′(x)=0, atunci x=1. Atunci prin verificarea semnului lui f′(x) în împrejurul lui x=1 ne spune că f′(x)>0 pentru x<1 și f′(x)>0 pentru x>1. Aceasta implică faptul că f(x) nu are extrem local, panta funcției neschimbând niciodată semnele.

Prin urmare, numărul extremului local este 0. □​

Bibliografie

Extrema (locală și absolută). Brilliant.org. Adus 16:45, 17 iulie 2023, de la https://brilliant.org/wiki/extrema/