presentasi materi induksi matematika pada keterbagian

INDUKSI MATEMATIKA

Penerapan Induksi matematika pada keterbagian

Sebelum kita mengkaji lebih jauh tentang penerapan induksi matematika pada
keterbagian, perlu ditegaskan makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi
bukan hanya dapat dibagi. Pernyataan "a habis dibagi b" bersinonim dengan: • a
kelipatan b • b faktor dari a • b membagi a Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi
a, maka (p + q) juga habis dibagi a. Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis
dibagi 2, maka (4 + 6) juga habis dibagi 2.

Multiple Choice

Buktikan dengan induksi matematika bahwa n² + 𝑛 habis dibagi 2 untuk n = k+1 sebarang bilangan asli n

• 2(𝑐 + 𝑘 + 1)

• 2n

• 2k+1

• 2

Contoh

Buktikan bahwa 7n − 1 habis dibagi 6.

Langkah dasar.

P(1) benar untuk n=1 karena 7n –1= 71 - 1=6 habis dibagi 6

Langkah induktif

Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar untuk n = k, yaitu dengan mengasumsikan bahwa (7k – 1) habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli k. Sehingga P(k) dapat dinyatakan sebagai 7k
– 1 = 6c untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) untuk n=k+1, yaitu pernyataan bahwa 7k+1− 1 habis dibagi 6, juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 7k+1
− 1 habis dibagi 6.

Perhatikan bahwa 7k+1− 1 = 7k 7 - 1

= 7k (6 + 1 ) -1

= 7k 6 + 7k - 1

= 7k 6 + 6c

= 6( 7k + c)

Jelas bahwa ruas kanan 6( 7k + c) merupakan kelipatan 6. Jadi P(k + 1) benar. Langkah induktif selesai. Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, menurut prinsip induksi matematika terbukti
bahwa 7 n − 1 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli 𝑛