ลำดับ

1

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ล ำดับ (Sequence)

ล าดับจ ากัดเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก n ตัวแรก คือ มีโดเมนเป็น



n,4,3,2,1,



ดังนั้นล าดับจ ากัด คือ

f(n),

f(3),f(2),f(1),



ล าดับอนันต์เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก คือ มีโดเมนเป็น 

4,3,2,1,

ดังนั้น

ล าดับอนันต์ คือ



 f(n),,

f(3),f(2),f(1),

จากบทนิยามจะได้

f(n),

f(3),f(2),f(1),



เป็นล าดับจ ากัด



 f(n),,

f(3),f(2),f(1),

เป็นล าดับอนันต์

f(1) คือ

พจน์แรกของล าดับ

เขียนแทนด้วย
1a

f(2)คือ

พจน์ที่ 2 ของล าดับ

เขียนแทนด้วย
2a

f(3)คือ

พจน์ที 3 ของล าดับ

เขียนแทนด้วย
3a


f(n) คือ

พจน์ที่ n ของล าดับ

เขียนแทนด้วย
na

นั่นคือ
n

321
a

aaa

,,,,



เป็นล าดับจ ากัด

และ





,,,,,
n

321
a

aaa

เป็นล าดับอนันต์

จากตัวอย่างที่กล่าวมา

(1)

40,30,20,10,

เป็นล าดับอนันต์ที่มี

40a30,a20,a10,a
4

3

2

1








และ

10nan 

(2) 1, 3, 5, 7, K เป็นล าดับอนันต์ที่มี
1

2

3

4

5
a1, a

3, a

5, a

7, a

9

=

=

=

=

=

และ
na

2n

1

=

-

(3) 1111
1,,,,
2345 เป็นล าดับจ ากัดที่มี
1

2

3

4

5

1

1

1

1
a

1, a

, a

, a

, a
2

3

4

5
=

=

=

=

=

และ
n

1
a
n
=

(4) 2, 4, 8, 1 6, ... เป็นล าดับอนันต์ที่มี
1

2

3

4
a

2, a

4, a

8, a

1 6

=

=

=

=

และ

n

na

2=

บทนิยาม ล าดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนเต็มบวก ที่เรียงจาก

น้อยไปมาก โดยเริ่มตั้งแต่ 1

2

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

รูปแบบการก าหนดล าดับ

ตัวอย่างที่ 1จงหาสี่พจน์แรกของล าดับ
na

5 n

2

=

-

วิธีท า

จาก
na

5 n

2

=

-

1

2

3

4

a

5(1)

2

3

a

5(2)

2

8

a

5( 3)

2

1 3

a

5( 4 )

2

1 8

=

-

=

=

-

=

=

-

=

=

-

=

ดังนั้น สี่พจน์แรกของล าดับนี้ คือ 3, 8, 1 3, 1 8

ตัวอย่างที่ 2จงหาสี่พจน์แรกของล าดับ
na

2 n

5

=

+

วิธีท า

จาก
na

2 n

5

=

+

1

2

3

4

a

2(1)

5

7

a

2(2)

5

9

a

2( 3)

5

1 1

a

2( 4 )

5

1 3

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

ดังนั้น สี่พจน์แรกของล าดับนี้ คือ 7, 9, 1 1, 1 3

ตัวอย่างที่ 3จงหาสี่พจน์แรกของล าดับเมื่อก าหนดพจน์ทั่วไป คือ

(1)

()

n

n
a

2

=-

(2)

()

n

na

4

1

=+-

(3) n

2 n
a
1n
=
+

(4)

()

n

n

1
a
2 n

1

-
=
-

วิธีท า

(1) จาก

()

n

na

2

=-

()

()

()()

()

()()()

()

()()()()

1

1

2

2

3

3

4

4

a

2

2

a

2

2

2

4

a

2

2

2

2

8

a

2

2

2

2

2

1 6

=-

=-

=-

=-

-

=

=-

=-

-

-

=-

=-

=-

-

-

-

=

ดังนั้น สี่พจน์แรกของล าดับนี้ คือ

2, 4,

8, 1 6

-

-

3

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

(2) จาก

()

n

na

4

1

=+-

()

()

()

()

1

1

2

2

3

3

4

4

a

4

1

4(1)

3

a

4

1

41

5

a

4

1

4(1)

3

a

4

1

41

5

=+-

=+-=

=+-

=+

=

=+-

=+-=

=+-

=+

=

ดังนั้น สี่พจน์แรกของล าดับนี้ คือ 3, 5, 3, 5

(3) จาก
n

2 n
a
1n
=
+

1

2

3

4

2(1)
a

2
11

2(2)

4
a
12

3

2( 3)

3
a
13

2

2( 4 )

8
a
14

5

=

=
+

=

=
+

=

=
+

=

=
+

ดังนั้น สี่พจน์แรกของล าดับนี้ คือ

438
2,,,
325

(4) จาก
()

n

n

1
a
2 n

1

-
=
-

()

()

()

()

1

1

2

2

3

3

4

4

1

(1)
a

1
2(1)

1

1

1

1

1
a
2(2)

1

41

3

1

(1)

1
a
2( 3)

1

61

5

1

1

1
a
2( 4 )

1

81

7

-

-
=

=

=-
-

-
=

=

=
-

-

-

-
=

=

=-
-

-

-
=

=

=
-

-

ดังนั้น สี่พจน์แรกของล าดับนี้ คือ
1

11
1,,

,
3

57
-

-

4

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ตัวอย่างที่ 4จงหาพจน์ถัดไปสองพจน์ของล าดับที่ก าหนดให้ต่อไปนี้

(1) 2, 6, 1 0, 1 4, ...

(2) 2 0 0, 1 9 5, 1 9 0, 1 8 5, ...

(3) 1, 4, 1 6, 6 4, ...

(4) 7 2 9, 2 4 3, 8 1, 2 7, ...

(5) 1111
,,,, ...
5101520

วิธีท า

(1) 2

,6

,10

,

14

,

18

,

22

+4

+4

+4

+4

+4

ดังนั้น พจน์ถัดไปสองพจน์ของล าดับนี้ คือ 18 และ 23 ตามล าดับ

(2) 200

,195

,190

,185

,180

,175

-5

-5

-5

-5

-5

ดังนั้น พจน์ถัดไปสองพจน์ของล าดับนี้ คือ 180 และ 175 ตามล าดับ

(3) 1,

4

,

16

,64

,

256

,1024

x4

x4

x4

x4 x4

ดังนั้น พจน์ถัดไปสองพจน์ของล าดับนี้ คือ 256 และ 1024 ตามล าดับ

(4) 729

,243

,81

,27

,

9

,

3

3

3

3 3

3

ดังนั้น พจน์ถัดไปสองพจน์ของล าดับนี้ คือ 9 และ 3 ตามล าดับ

(5)

1

1

1

1

1

1
,

,

,

,

,

5

10

15

20

25

30

1
5
+

1
5
+

1
5
+

1
5
+

1
5
+

ดังนั้น พจน์ถัดไปสองพจน์ของล าดับนี้ คือ

1
25 และ

1
3 0 ตามล าดับ

5

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

การหาพจน์ทั่วไปของล าดับ

การหาพจน์ทั่วไปของล าดับ คือ การเขียนพจน์ทั่วไปแสดงเป็น
na ในรูปที่มี n เป็นตัวแปร แเมื่อ

แทน n ด้วยสมาชิกในเซต {

}
1, 2, 3, ..., m

แล้วได้พจน์ 1, 2, 3, ..., mของล าดับตรงตามที่ก าหนด

ตัวอย่างที่ 5

จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับจ ากัดต่อไปนี้

(1) 5, 8, 1 1, 1 4, 1 7, 2 0(2) 12345
,,,,
23456

(3) 1, 3, 9, 2 7

วิธีท า

(1) จาก 5, 8, 1 1, 1 4, 1 7, 2 0

จะได้

5,8,1 1

,1 4

,1 7

,2 0

+3 +3 +3 +3 +3

พิจารณาพจน์ที่ก าหนดให้ดังนี้

1

2

3

4

5

6

a

5

3(1)

2

a

8

3(2)

2

a

1 1

3( 3)

2

a

1 4

3( 4 )

2

a

1 7

3(5)

2

a

2 0

3(6)

2

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

=

=

+

จะได้
na

3 n

2

=

+ เมื่อ



6 5, 4,3,2,1,n

(2) จาก 12345
,,,,
23456

พิจารณาพจน์ที่ก าหนดให้ดังนี้

1

2

3

4

5

1

1
a
2

11

2

2
a
3

21

3

3
a
4

31

4

4
a
5

41

5

5
a
6

51

=

=
+

=

=
+

=

=
+

=

=
+

=

=
+

จะได้

n

n
a
n1
=
+
เมื่อ



5 4,3,2,1,n

6

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

(3) ) จาก 1, 3, 9, 2 7

พิจารณาพจน์ที่ก าหนดให้ดังนี้

0

11

1

1

21

2

2

31

3

3

41

4

a

1

3

3

a

3

3

3

a

9

3

3

a

2 7

3

3

-

-

-

-

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

จะได้

n1

na

3-=
เมื่อ



43,2,1,n

ข้อสังเกต

1. การหาพจน์ทั่วไปของล าดับที่ก าหนดจ านวนพจน์น้อยเกินไป อาจท าให้เราหาพจน์ทั่วไปได้

ต่างกัน เนื่องจากล าดับที่ต่างกันอาจจะมีพจน์แรกๆ เหมือนกัน

2. เมื่อหาพจน์ทั่วไปของล าดับที่ก าหนดให้ได้แล้ว ควรจะแทน n ใน
naด้วยสมาชิก

1, 2, 3, ... เพื่อตรวจสอบว่า
na ที่หาได้เป็นพจน์ทั่วไปของล าดับที่ก าหนดมาให้จริงหรือไม่ โดยดูว่าพจน์ที่ได้

จากการแทนค่าดังกล่าวเป็นไปตามที่ก าหนดให้หรือไม ่

3. การก าหนดล าดับอนันต์จะเขียนพจน์ทั่วไปก ากับไว้กับการเขียนล าดับเสมอเพื่อสื่อสารให้

ทราบว่าจะกล่าวถึงล าดับใด เช่น 123

n
,,, ...,

, ...
234

n1+
ยกเว้นในกรณีที่ระบุได้ว่าล าดับอนันต์นั้นมี

ความสัมพันธ์ที่เห็นชัดเจนว่าจะหาพจน์ถัดจากพจน์แรกๆ ได้อย่างไร เช่น 1, 2, 3, 4, ...

ตัวอย่างที่ 6

จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับอนันต์ต่อไปนี้

(1) 7, 1 2, 1 7, 2 2, 2 7, ...

(2) 4, 8, 1 2, 1 6, 2 0, ...

(3) 1,1,3,5,7, ...

----

(4) 3, 0,

3,6,9, ...

---

วิธีท า

(1) พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในล าดับ 7, 1 2, 1 7, 2 2, 2 7, ...

7

1 2

1 7

2 2

2 7

+5 +5 +5 +5

พบว่า พจน์แต่ละพจน์จะมากกว่าพจน์ที่มาอยู่ก่อนอยู่ 5

พิจารณาหาความสัมพันธ์ของล าดับที่ของพจน์กับพจน์ที่ก าหนดให้

7

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

พจน์ที่ (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

7

1 2

1 7

2 2

2 7

52+1 0

2+1 5

2+2 0

2+2 52+

หรือ 5(1)

2+5(2 )

2+5( 3 )

2+5( 4 )

2+5( 5 )

2+

จะได้พจน์ทั่วไป หรือ
na

5( n )

2

=

+

(2) พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในล าดับ 4, 8, 1 2, 1 6, 2 0, ...

4

8

1 2

1 6

2 0

+4 +4 +4 +4

พบว่า พจน์แต่ละพจน์จะมากกว่าพจน์ที่มาอยู่ก่อนอยู่ 4

พิจารณาหาความสัมพันธ์ของล าดับที่ของพจน์กับพจน์ที่ก าหนดให้

พจน์ที่ (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

4

8

12

16

20

4x1

4x2

4x3

4x4

4x5

จะได้พจน์ทั่วไป หรือ
na

4 n=

(3) พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในล าดับ 1,1,3,5,7, ...

----

1

1

3

5

7

-

-

-

-

-2 -2 -2 -2

พบว่า พจน์แต่ละพจน์จะน้อยกว่าพจน์ที่มาอยู่ก่อนอยู่ 2

8

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

พิจารณาหาความสัมพันธ์ของล าดับที่ของพจน์กับพจน์ที่ก าหนดให้

พจน์ที่ (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1

1

3

5

7

-

-

-

-

(2)3

-+(4)3

-+(6)3

-+(8)3

-+(1 0)

3

-+

หรือ (2) (1)

3

-

+(2 ) (2 )

3

-

+(2 ) ( 3 )

3

-

+(2 ) ( 4 )

3

-

+(2 ) ( 5 )

3

-

+

จะได้พจน์ทั่วไป หรือ
na

(2) ( n )

3

=-

+

(4) พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ในล าดับ 3, 0,

3,

6,

9, ...

-

-

-

3

0

3

6

9

-

-

-

-3 -3 -3 -3

พบว่า พจน์แต่ละพจน์จะน้อยกว่าพจน์ที่มาอยู่ก่อนอยู่ 3

พิจารณาหาความสัมพันธ์ของล าดับที่ของพจน์กับพจน์ที่ก าหนดให้

พจน์ที่ (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

3

0

3

6

9

-

-

-

( 3)

6

-+( 6)

6

-+( 9)

6

-+( 1 2)

6

-+( 1 5)

6

-+

หรือ ( 3)(1)

6

-

+(3) (2)

6

-

+(3) ( 3)

6

-

+(3) ( 4 )

6

-

+(3) (5)

6

-

+

จะได้พจน์ทั่วไป หรือ
na

(3) ( n )

6

=-

+

9

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

การหาพจน์ทั่วไปของล าดับในตัวอย่างข้างต้น เป็นการหาโดยสังเกตจากความสัมพันธ์ของล าดับที่ของ

พจน์กับพจน์ของล าดับ ซึ่งในบางครั้งท าได้ยาก เราอาจใช้ฟังก์ชันพหุนามช่วยในการหาพจน์ทั่วไปได้

มีผลต่างแค่ชั้นเดียวใช้

na

a nb

=

+
มีผลต่าง สองชั้นใช้

2

na

anbnc

=

++

ตัวอย่างที่ 7จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 1,1,3,5,7, ...

----

วิธีท า

จากล าดับที่ก าหนดให้ พิจารณาผลต่างของพจน์สองพจน์ที่ก าหนดให้ที่อยู่ติดกัน

1

1

3

5

7

-

-

-

-

-2 -2 -2 -2

จะเห็นว่าผลต่างของพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงตัวเท่ากับ -2

ให้พจน์ทั่วไปของล าดับนี้อยู่ในรูป

na

a nb

=

+

1

2

a

1

ab

..........(1)

a

1

2ab

..........(2)

=

=

+

=-

=

+

จาก (1) จะได้ a1b

=-

แทนค่า a1b

=- ใน (2) จะได้

0

12(1b )b

22 bb1

3b

b

0

3

-=

-+

=-++

=-

=

จาก

a1b

=- จะได้

a13

2

=-

=-

จะได้
na

2 n3

=-+

ตรวจสอบว่า
n
a ที่หาได้เป็นพจน์ทั่วไปของล าดับที่ก าหนดให้

จาก
na

2 n3

=-+

1

2

3

4

5

a

2(1)

3

1

a

2(2)

3

1

a

2( 3)

3

3

a

2( 4 )

3

5

a

2(5)

3

7

=-+

=

=-

+=-

=-

+=-

=-

+=-

=-

+=-

จะเห็นว่า
12345
a , a , a , a , a เท่ากับค่าที่ก าหนดให้

ดังนั้น
na

2 n3

=-+

10

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ตัวอย่างที่ 8จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 0, 5, 1 2, 2 1, 3 2, ...

วิธีท า

จากล าดับที่ก าหนดให้ พิจารณาผลต่างของพจน์สองพจน์ที่ก าหนดให้ที่อยู่ติดกัน

0

5

12

21

32

ผลต่างครั้งที่ 1 5 7 9 11

ผลต่างครั้งที่ 2 2 2 2

จะเห็นว่าผลต่างครั้งที่สองมีค่าคงที่เท่ากับ 2

ให้พจน์ทั่วไปของล าดับนี้อยู่ในรูป

2

na

anb nc

=

++

แทน n1= จะได้
1a

abc

0

..........(1)

=++

=

แทน n2= จะได้
2a

4 a2 bc

5

..........(2)

=++=

แทน n3= จะได้
3a

9 a3 bc

1 2

..........( 3)

=++=

แก้ระบบสมการเชิงเส้นเพื่อหา a , b และ c ได้ดังนี้

(2)(1)-

จะได้

3 ab

5

+=

..........( 4 )

(3)(2)-

จะได้

5 ab

7

+=

..........(5)

(5)(4)-

จะได้ 3 a 2 a

2=

a

1=

แทน a

1= ใน ( 4 ) จะได้

3

3

(

(1

1)

)b

5

b

2

+=

=+

แทน a1 , b

2

=

= ใน (1) จะได้

12

12c

0

c

3

+

+

+

+=

= -

จะได้

2

na

n2 n3

=+-

ตรวจสอบว่า
na ที่หาได้เป็นพจน์ทั่วไปของล าดับที่ก าหนดให้

จาก

2

na

n2 n3

=

+-

2

1a

12(1)

3

0

=

+-

=

2

2a

22(2)

3

5

=

+

-

=

2

3a

32( 3)

3

1 2

=

+

-=

2

4a

42( 4 )

3

2 1

=

+

-=

2

5a

52(5)

3

3 2

=

+

-

=

จะเห็นว่า
12345
a , a , a , a , a เท่ากับค่าที่ก าหนดให้ ดังนั้น

2

na

n2 n3

=+-

11

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

แบบฝึกหัด

1. จงเขียน 5 พจน์แรกของล าดับที่ก าหนดให้ต่อไปนี้

(1)

n

1

a

n

=

(2)

na

2n3

=+

(3)

n 1

na

5

-=

(4)

n

n 2
1
a

n

-
=

(5)

n

n 1
n

a

5

-
=

(6)

n

11

a

3n4n

=

-

(7)

2

n

n1
a

3n

+
=

(8)

n1

n

( 1)
a

n (n1)

+-
=

+

(9)

n

n
a

sin

2

p
=

2. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับจ ากัดต่อไปนี้

(1) 1, 8, 2 7, 6 4, 1 2 5
วิธีท า







ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(2) 0 .4, 0 .0 4, 0 .0 0 4, 0 .0 0 0 4
วิธีท า







ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

12

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

(3)

111
1,,,
248

วิธีท า







ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(4)

11

11
,,

,
23

45
-

-

วิธีท า







ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(5)

1

1

1

1
2, 2

, 3

, 4

, 5
2

3

4

5

วิธีท า







ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(6) lo g 1, lo g 1 0, lo g 1 0 0, lo g 1 0 0 0
วิธีท า








ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

2. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับอนันต์ต่อไปนี้
(1) 1, 5, 9, 1 3, ...
วิธีท า

ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(2) 5, 1 1, 1 7, 2 3, ...
วิธีท า






ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

13

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

(3) 2, 5, 1 0, 1 7, ...
วิธีท า






ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(4) 2, 6, 1 2, 2 0, ...
วิธีท า






ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(5) 2468
,,,, ...
3333

วิธีท า







ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

(6)

3 , 3, 3 3 , 9, 9 3 , ...

วิธีท า

ตอบ พจน์ทั่วไป คือ

3. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ

1,4,7,10, ...

----

4. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับ 2, 9, 22, 41, 66, ...

14

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ล าดับเลขคณิต

พิจารณาล าดับ 3, 7, 11, 15, 19, … จะเห็นว่าผลต่างของพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมี

ค่าคงที่เท่ากับ 4 เช่น 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4, 15 – 11 = 4, 19 – 15 = 4

ล าดับเลขคณิต เป็นล าดับที่มีผลต่างที่ได้จากการน าพจน์ที่ n+1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่เรียกค่าคงที่

นี้ว่า ผลต่างร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ “d”
ให้ a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นล าดับ ถ้า an+1 – an = d แล้ว a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นล าดับเลขคณิต

ตัวอย่างที่ 1จงพิจารณาว่าล าดับต่อไปนี้เป็นล าดับเลขคณิตหรือไม่ ถ้าเป็นล าดับเลขคณิตจงหาผลต่างร่วม

(1) ล าดับ 1, 8, 1 5, 2 2, ...
มี 8115822157

-=-=-=

ดังนั้น เป็นล าดับเลขคณิต , d7=

(2) ล าดับ 4, 7, 1 1, 1 6, ...

มี 74117

-น-

ดังนั้น ไม่เป็นล าดับเลขคณิต

(3) ล าดับ

1 2,8,4, 0, ...

---

มี

8(1 2)

4(8)0(4)4

---= ---=--= ดังนั้น เป็นล าดับเลขคณิต , d4=

(4) ล าดับ 5, 7, 9, 1 1, ...

มี 75971192

-=-=-= ดังนั้น เป็นล าดับเลขคณิต , d2=

(5) ล าดับ 7, 3,

2,5, ...

--

มี 37(2)3

-น--

ดังนั้น ไม่เป็นล าดับเลขคณิต

ลองตรวจสอบว่าล าดับที่ก าหนดให้เป็นล าดับเลขคณิตหรือไม่

ข้อ

ล าดับ

ผลต่างร่วม

เป็นล าดับเลขคณิต

1 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

2

/

2 3, 9, 27, 81, 243, …

ไม่คงที่


3 5, 8, 11, 14, 15, 18, …

3

/

4 -7, -3, 1, 5, 9, 13, …

4

/

5
,...
2
7
,3,
2
5
,2,
2
3
,1

2
1

/

6 1, 2, 4, 7, 11, 16, …

ไม่คงที่


7 90, 85, 80, 75, 70, …

-5

/

8 -1, -3, -5, -7, -9, …

-2

/

9 1, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, …

0.5

/

บทนิยาม ล าดับเลขคณิต คือ ล าดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n1+
และพจน์ที่ n

มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า ผลต่างร่วม แทนด้วย d

15

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

การหาพจน์ทั่วไปของล าดับเลขคณิต

ให้นักเรียนศึกษาการหาพจน์ทั่วไปของล าดับเลขคณิต 1, 5, 9, 13, 17, …
วิธีท า

ให้

a1 = 1

a2 = 5

=

1 + 4

= 1 + 1(4)

a3 = 9

=

1 + 4 + 4

= 1 + 2(4)

a4 = 13

=

1 + 4 + 4 + 4

= 1 + 3(4)

a5 = 17

=

1 + 4 + 4 + 4 + 4

= 1 + 4(4)







an = 1 + (n-1)4

= 1 + 4n - 4

= 4n - 3

ในกรณีทั่วไปถ้า a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นล าดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่างร่วม จะเขียนพจน์อื่น ๆ

ของล าดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ดังนี้

a1=

a1

a2=

a1 + d

a3=

a2 + d

=

(a1 + d) + d

=

a1 + 2d

a4=

a3 + d

=

(a1 + 2d ) + d =

a1 + 3d

a5=

a4 + d

=

(a1 + 3d) + d =

a1 + 4d





an=

an-1 + d

=

(a1 + (n-2)d) + d =

a1 + (n-1)d

จะได้พจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปของล าดับเลขคณิตเป็น an = a1 + (n-1)d

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของล าดับเลขคณิต 2, 5, 8, 11, 14, …
วิธีท า เป็นล าดับเลขคณิตที่มี a1 = 2 , d = 3

a6 = a5 + d = 14 + 3 = 17

a7 = a6 + d = 17 + 3 = 20

a8 = a7 + d = 20 + 3 = 23

a9 = a8 + d = 23 + 3 = 26

ดังนั้นสี่พจน์ถัดไปของล าดับเลขคณิตที่ก าหนดให้คือ 17, 20, 23, 26

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ที่ 30 ของล าดับเลขคณิต 1, 8, 15, 22, …
วิธีท า 1, 8, 15, 22, … เป็นล าดับเลขคณิตที่มี a1 = 1 , d = 7

จาก

an = a1 + (n-1)d

จะได้

an = 1 + (30-1)(7)

an = 1 + (29)(7)

an = 1 + 203

an = 204

16

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ตัวอย่างที่ 4 จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับเลขคณิต 8, 3, -2, -7, …
วิธีท า เป็นล าดับเลขคณิตที่มี a1 = 8 , d = -5

จาก

an = a1 + (n-1)d

an = 8 + (n-1)(-5)

an = 8 -5n + 5

an = -5n + 13

ตัวอย่างที่ 5 ถ้า 3, a, b, c, d, e, f, g, 35 เป็นเก้าพจน์เรียงกันในล าดับเลขคณิต จงหา f
วิธีท า เป็นล าดับเลขคณิตที่มี a1 = 3 , a9 = 35

จาก

an = a1 + (n-1)d

a9 = a1 + 8d

35 = 3 + 8d

32 = 8d

d = 4

หา f ซึ่งเป็นพจน์ที่ 7 ของล าดับเลขคณิตจาก an = a1 + (n-1)d

a7 = a1 + 6d

a7 = 3 + 6(4)

a7 = 3 + 24

a7 = 27

ดังนั้น f มีค่าเท่ากับ 27

ตัวอย่างที่ 6 จงหาพจน์แรกของล าดับเลขคณิตที่มี a5 = 19 และ a20 = 64
วิธีท า จาก

an = a1 + (n-1)d

a5 = a1 + 4d และ a20 = a1 + 19d

จะได้

19

=

a1 + 4d

……….(1)

64

=

a1 + 19d

……….(2)

(2) - (1) 45

= 15d

d

=

3

แทนค่า d = 3 ในสมการ (1)

a1 + 4d

=

19

a1 + 4(3)

=

19

a1

=

19 - 12

a1

=

7

ดังนั้นพจน์แรกของล าดับเลขคณิตหรือ a1 = 7

17

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ตัวอย่าง 7 จงหาจ านวนที่อยู่ระหว่าง 6 และ 20 ที่ท าให้จ านวนทั้งสามเป็นพจน์เรียงกันในล าดับเลขคณิต
วิธีท า ให้ a เป็นจ านวนที่ต้องการ จะได้ล าดับเลขคณิตเป็น 6, a, 20

จากสมบัติของล าดับเลขคณิตจะได้ว่า a - 6 = 20 - a

a + a = 20 + 6

2a = 26

a = 13

ตัวอย่างที่ 8 ถ้า 8, a, b, c, 44 เป็น 5 พจน์ที่เรียงกันในล าดับเลขคณิต จงหา a, b, c
วิธีท า จาก an +1 = an + d

จะได้ a = 8 + d

b = a + d = (8 + d) + d = 8 + 2d

c = b + d = (8 + 2d) + d = 8 + 3d

44 = c + d = (8 + 3d) + d = 8 + 4d

แล้ว

8 + 4d = 44

4d = 44 - 8

4d = 36

d = 9

ดังนั้น a = 8 + 9 = 17

b = 17 + 9 = 26

c = 26 + 9 = 35

ตัวอย่างที่ 9 จงหาว่าระหว่าง 1000 กับ 2000 มีจ านวนที่หารด้วย 7 ลงตัวทั้งหมดกี่จ านวน
วิธีท า จ านวนแรกที่มากกว่า 1000 และ 7 หารลงตัวคือ 1001

จ านวนสุดท้ายที่น้อยกว่า 2000 และ 7 หารลงตัวคือ 1995

ล าดับเลขคณิตที่เกิดขึ้นคือ 1001, 1008, 1015, …, 1995 มี a1 = 1001 , d = 7 , an = 1995

จาก

an = a1 + (n-1)d

1995

=

1001 + (n-1)7

1995 - 1001 = (n-1)7

994

= (n-1)7

142

= n-1

n

= 142 + 1

n

= 143

ดังนั้นระหว่าง 1000 กับ 2000 มีจ านวนที่หารด้วย 7 ลงตัวทั้งหมด 143 จ านวน

18

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

แบบฝึกหัด “ล าดับเลขคณิต”

1.จงตรวจว่าล าดับที่ก าหนดให้ต่อไปนี้เป็นล าดับเลขคณิตหรือไม่

ข้อ

ล าดับ

ผลต่างร่วม

เป็นล าดับเลขคณิต

1 2, 6, 10, 14, …

2 3, 9, 12, 15, 18, …

3 5, 11, 17, 23, 29, …

4 10, 20, 40, 80,

5 -7, -5, -3, -1, 2, 4, …

6 5, 10, 15, 20, …

7 1, 2, 4, 8, 16, …

8 90, 80, 70, 60, 50, …

9 -10, -13, -16, -19, -21, …

10 1.2, 1.4, 1.6, 1.8, …

2. จงเขียนสี่พจน์ถัดไปของล าดับเลขคณิต 5, 8, 11, 14, …
วิธีท า เป็นล าดับเลขคณิตที่มี a1 = …….. , d = ……….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………….

………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ดังนั้นสี่พจน์ถัดไปของล าดับเลขคณิตที่ก าหนดให้คือ ...........................................................................

3. จงหาพจน์ที่ 50 ของล าดับเลขคณิต -5, -1, 3, 7, 11, …
วิธีท า เป็นล าดับเลขคณิตที่มี a1 = ……... , d = …………

………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับเลขคณิต 8, 12, 16, 20, …
วิธีท า …………………………………………………………………………………………………………………………….………….…
……………………………………………………..…………………………………………………………………………………….………..………
……………………………………………………………………………………..…………………………………….………………..………………
…………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

19

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

5. ถ้า 5, a, b, c, 29 เป็นห้าพจน์ที่เรียงกันในล าดับเลขคณิต จงหา a, b, c
วิธีท า ………………………………………………………………………………………………………………………………………..……….
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..………………………………………………………………….…………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………..……..…………………………………………
…………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………
6. ถ้า 3, a, b, c, d, e, f, g, h, i, 52 เป็นสิบเอ็ดพจน์เรียงกันในล าดับเลขคณิต จงหา f
วิธีท า…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..………………………………………………………………………………………………..……………………………
………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………
..……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………
………………………………..……………………………………………………………………………………………..……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………
…………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………
7.จงหาพจน์ที่สิบ ของล าดับเลขคณิตที่มี a6 = 15 และ a20 = 43
วิธีท า ....................................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..…..…………………………………………………………
…………………………..………………………………………………………………………..………………………………..
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..…………………………………………………………………………………….………………………………….
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………….……………………….....................................……
………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………

20

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

8. จงหาจ านวนที่อยู่ระหว่าง 16 และ 36 ที่ท าให้จ านวนทั้งสามนั้นเป็นพจน์เรียงกันในล าดับเลขคณิต
วิธีท า………………………………………………………………………………….……………………..……………………………………….
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………........................................................................
……………………………………………………………………………………………………………………………………….............9. ถ้า
7, a, b, c, 39 เป็นห้าพจน์ที่เรียงกันในล าดับเลขคณิต จงหา a, b, c
วิธีท า ……………………………………………………………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………...
......……………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………
…………………………………..…………………………………………………………………………………………………...
10.จงหาว่าระหว่าง 2000 กับ 3000 มีจ านวนที่หารด้วย 9 ลงตัวทั้งหมดกี่จ านวน
วิธีท า.....................................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
……………………………..……………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………….....

21

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ตัวกลางเลขคณิต

ให้ x เป็นตัวกลางเลขคณิต 1 พจน์ระหว่าง a และ b

ดังนั้น a, x, b เรียงกันเป็นล าดับเลขคณิต ซึ่งได้ผลต่างร่วมเท่ากัน

จะได้

xa

bx

-=-

2 x

ab

=

+

นั่นคือ

ab
x
2
+
=

ให้ 1234

k
x , x , x , x , ..., x เป็นตัวกลางเลขคณิต k พจน์ระหว่าง a และ b

ดังนั้น

12

k
a, x , x , ..., x , b เรียงกันเป็นล าดับเลขคณิต

ที่มี 1aa=
และ

k2
a

b
+=
หาค่า d

จาก

1

n
a(n1)d

a

+-

=

a(k21)d

b

++-

=

a(k1)d

b

++

=

ดังนั้น

ba
d

k1

-
=

+

จะได้

1

2

3

n
x

ad, x

a2d, x

a3d, ..., x

ak d,

=+

=+

=+

=+

ตัวอย่างที่ 61 จงหาตัวกลางเลขคณิตจากข้อก าหนดต่อไปนี้

(1) 1 จ านวนระหว่าง 2 และ -10

(2) 4 จ านวนระหว่าง 10 และ 27

วิธีท า

(1) ให้ล าดับเลขคณิตคือ 2, x ,

1 0-

จะได้ ตัวกลางเลขคณิตที่ต้องการ คือ

ab
x
2

2(1 0)
x

4

x

2

+
=

+-
=

=-

22

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

(2) จากล าดับเลขคณิต คือ
1234
1 0, x , x , x , x , 2 7

ให้

a1 0 , b

2 7 , k

4

=

=

=

จาก

ba
d

k1

-
=

+

จะได้

2 71 0
d
41

-
=
+

17

2
3

5

5

d =

=

จะได้ล าดับเลขคณิต คือ

2413
10, 13

, 16, 20, 23, 27
5555

ดังนั้นตัวกลางเลขคณิต 4 จ านวนที่ต้องการ คือ

2413
1 3, 1 6, 2 0, 2 3
5555

ตัวอย่างที่ 62 จงหาจ านวนที่อยู่ระหว่าง 9 และ 15 ที่ท าให้จ านวนทั้งสามนั้นเป็นพจน์สามพจน์เรียงกันใน
ล าดับเลขคณิต
วิธีท า

ให้ x เป็นจ านวนที่ต้องการ

จะได้ 9, x , 1 5 เป็นล าดับเลขคณิต

ตัวกลางเลขคณิต คือ

ab
x
2

91 5

2

1 2

x

x

+
=

+
=

=

ดังนั้น ตัวกลางเลขคณิตที่ต้องการ คือ 12

ตัวอย่างที่ 63 จงหาผลบวกของจ านวน 6 จ านวนที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 36 แล้วท าให้ทั้ง 8 จ านวนเรียงกัน
เป็นล าดับเลขคณิต
วิธีท า

ให้ล าดับเลขคณิต คือ
123456
1, x , x , x , x , x , x , 3 6

ให้

a1 , b

3 6 , k

6

=

=

=

จาก

ba
d
k1

-
=
+

จะได้

3 61
d
61

-
=
+

d
35
5
7
=

=

จะได้ล าดับเลขคณิต คือ 1, 6, 1 1, 1 6, 2 1, 2 6, 3 1, 3 6

ดังนั้นผลบวกของจ านวน 6 จ านวนที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 36 เท่ากับ 61 11 62 12 63 1

1 1 1

+++++=

23

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ล าดับเรขาคณิต
พิจารณาล าดับ 3, 6, 12, 24, 48, … จะเห็นว่าอัตราส่วนของพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันมี

ค่าคงที่เท่ากับ 2 เช่น

2
24
48
,2
12
24
,2
6
12
,2
3
6








ล าดับเรขาคณิต เป็นล าดับที่มีอัตราส่วนที่ได้จากการน าพจน์ที่ n+1 หารด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงที่เรียก

ค่าคงที่นี้ว่า อัตราส่วนร่วม แทนด้วยสัญลักษณ์ “r”

ให้ a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นล าดับ ถ้า

r

a

a

n

1n

แล้ว a1, a2, a3, a4, a5, … เป็นล าดับเรขาคณิต

การตรวจสอบว่าล าดับที่ก าหนดให้เป็นล าดับเรขาคณิตหรือไม่

ข้อ

ล าดับ

อัตราส่วนร่วม

เป็นล าดับแรขาคณิต

1 2, 4, 8, 16, 32, …
2
8
16
,2
4
8
,2
2
4

คงที่

/

2 3, 9, 27, 81, 243, …
3
27
81
,3
9
27
,3
3
9

คงที่

/

3 5, 20, 80, 320, …
4
80
320
,4
20
80
,4
5
20



คงที่

/

4 10, 20, 30, 40,

3
4

30
40
,
2
3

20
30
,2
10
20



ไม่คงที่


5 -1, -4, -16, -64, -256, …
4
16
64
,4
4
16
,4
1
4










คงที่

/

การหาพจน์ทั่วไปของล าดับเรขาคณิต
ให้ a1, a2, a3, a4, a5, …,an, … เป็นล าดับเรขาคณิตที่มี a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตราส่วนร่วมจะเขียนพจน์
อื่น ๆ ของล าดับเรขาคณิตในรูป a1 และ r ได้ดังนี้

a2=

a1r

a3=

a2r =

(a1r)r =

a1r2

a4=

a3r =

(a1r2)r =

a1r3





an=

a1rn-1

ดังนั้นเมื่อก าหนดให้ a1 เป็นพจน์แรกของล าดับเรขาคณิตที่มี

n

1n
a
a
 เท่ากับ r เป็นอัตราส่วนร่วมจะได้พจน์ที่ n

หรือพจน์ทั่วไปของล าดับเรขาคณิตนี้คือ an = a1rn-1

บทนิยาม ล าดับเรขาคณิต คือ ล าดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n1+ต่อพจน์ที่ n

มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม แทนด้วย r

24

เอกสารประกอบการเรียน เรื่อง “ล าดับและอนุกรม” วิชาคณิตศาสตร์ ชั้น ม.5

ตัวอย่าง 1 จงเขียนสามพจน์ถัดไปของล าดับเรขาคณิต 5, 20, 80, 320, …
วิธีท า เป็นล าดับเรขาคณิตที่มี a1 = 5 , r = 4

a5 = a4r = 320(4) = 1280

a6 = a6r = 1280(4) = 5120

a7 = a6r = 5120(4) = 20480

ดังนั้นสามพจน์ถัดไปของล าดับเรขาคณิตที่ก าหนดให้คือ 1280, 5120, 20480

ตัวอย่าง 2 จงเขียนสี่พจน์แรกของล าดับเรขาคณิตที่มี a1= 2 และ r =

2
3

วิธีท า

a1 = 2

a2 = a1r = 2(

2
3 ) = 3

a3 = a2r = 3(

2
3 ) =

2
9

a4 = a3r =

2
9 (

2
3 ) =

4
27

ดังนั้นสี่พจน์แรกของล าดับเรขาคณิตที่ก าหนดให้คือ 2, 3,

2
9 ,

4
27

ตัวอย่าง 3 จงเขียนพจน์ที่ 8 ของล าดับเรขาคณิต 2, 6, 18, 54, …
วิธีท า เป็นล าดับเรขาคณิตที่มี a1 = 2 , r = 3

จาก an = a1rn-1

a8 = a1r8-1

a8 = 2(37)

a8 = 2(2187)

a8 = 4374

ดังนั้นพจน์ที่ 8 ของล าดับเรขาคณิตนี้คือ 4374

ตัวอย่าง 4 จงหาพจน์ทั่วไปของล าดับเรขาคณิต 8, 16, 32, 64, …
วิธีท า เป็นล าดับเลขคณิตที่มี a1 = 8 , r = 2
จาก

an = a1rn-1

an = 8(2n-1)

an = 23(2n-1)

an = 23+n-1

an = 2n+2

ดังนั้นพจน์ทั่วไปของล าดับคือ an = 2n+2