Бином Ньютона

•В группе 20 студентов. Сколькими способами могут быть
выбраны профорг и староста при условии, что каждый
учащийся может быть избран только на одну из этих
должностей?
Ответ:
• Для дежурства в классе в течение недели (кроме
воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами
можно установить очередность дежурств, если каждый
учащийся дежурит один раз?
Ответ:
•Группу студентов колледжа должна экзаменовать по
математике комиссия из двух преподавателей. Сколькими
способами может быть составлена такая комиссия, если в
колледже пять преподавателей математики?
Ответ:

1. 5!=….
2. А5

2 =…

3. С4

2=….

4. Сколькими способами можно
разместить 5 человек на скамейке?

Устный счет:

Историческая справка

Исаа́к Нью́ тон (или Ньюто́н) (англ. Sir Isaac
Newton, 25 декабря 1642 года — 20 марта
1727 года по юлианскому календарю,
действовавшему в Англии до 1752 года; или 4
января 1643 года — 31 марта 1727
года по григорианскому календарю) —
английский физик, математик, механик и астрон
ом, один из создателей классической физики.
Автор фундаментального труда «Математические
начала натуральной философии», в котором он
изложил закон всемирного тяготения и три закона
механики, ставшие основой классической
механики. Разработал дифференциальное и
интегральное исчисления, теорию цвета, заложил
основы современной физической оптики, создал
многие другие математические и физические
теории.

Историческая справка

Блез Паска́ль (фр. Blaise Pascal; 19
июня 1623, Клермон-
Ферран, Франция — 19
августа 1662, Париж, Франция) —
французский математик, механик, физ
ик, литератор и философ. Классик
французской литературы, один из
основателей математического
анализа, теории
вероятностей и проективной
геометрии, создатель первых образцов
счётной техники, автор основного
закона гидростатики.

Тема: «Формула бинома Ньютона.

Треугольник Паскаля»

формулы сокращенного умножения для
квадрата и куба суммы двух слагаемых

Бином

где

— биномиальные коэффициенты,

— неотрицательное целое число.

Ньютон вывел формулу бинома для более общего

случая, когда показатель степени —
произвольное действительное (или даже комплексное) число.
В этом случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Бино́м Нью́ то́на — формула для разложения на отдельные
слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух
переменных, имеющая вид

Треугольник Паскаля

Треугольник

Паскаля

—

бесконечная

таблица биномиальных коэффициентов, имеющая
треугольную

форму.

В

этом

треугольнике

на

вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число
равно сумме двух расположенных над ним чисел.
Строки треугольника симметричны относительно
вертикальной оси.

«Треугольник Паскаля так
прост, что выписать его
сможет даже десятилетний
ребенок. В то же время он
таит в себе неисчерпаемые
сокровища и связывает
воедино различные аспекты
математики, не имеющие на
первый взгляд между собой
ничего общего. Столь
необычные свойства
позволяют считать
треугольник Паскаля одной
из наиболее изящных схем во
всей математике»

Мартин Гарднер

21 ОКТЯБРЯ 1914 – 22 МАЯ

2010

Треугольник Паскаля. Свойства.

Числа треугольника симметричны (равны) относительно
вертикальной оси.
В строке с номером n:

1. первое и последнее числа равны 1.
2. второе и предпоследнее числа равны n.
3. третье число равно треугольному
числу

, что также равно сумме номеров

предшествующих строк.
4. четвёртое число является тетраэдрическим.
5. m-е число (при нумерации с 0) равно биномиальному
коэффициенту

.

В математических исследованиях

нередко возникает необходимость
представить выражение 𝑎 + 𝑏𝑛, где n ∊
𝑁, в виде суммы выражений вида
𝛼𝑘,𝑚𝑎𝑘𝑏𝑚, где 𝛼𝑘,𝑚 - некоторый
коэффициент. Для этого обычно применяется
один из двух способов: метод, основанный на
«треугольнике Паскаля» и использование
формулы «бинома Ньютона».
Сначала рассмотрим построение
«треугольника Паскаля», а потом – его

Построение треугольника Паскаля

«Треугольник Паскаля» представляет собой набор
строк, состоящий из чисел, сгруппированных по
определенному закону таким образом, что
получается фигура, напоминающая треугольник.
Например, изобразим первые 5 строк.

Слева от вертикальной черты указан номер

строки, при чем нумерация строк начинается с 0.

Самостоятельная работа

1. Сколькими способами из 9 учебных

предметов можно составить расписание
учебного дня из 6 различных уроков?

2. Сколько различных пятизначных чисел

можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

3. Сколькими способами могут встать в

очередь в билетную кассу 3 человека?

4. Сколькими способами можно выбрать трех

дежурных из группы в 20 человек?

СПАСИБО ЗА УРОК!