Materi Peluang

MATERI PELAJARAN MATEMATIKA

OLEH : Yos Rizaldy Novianto, S.Pd

PELUANG

•Membahas pengertian kaidah pemecahan faktorial,
permutasi dan kombinasi
•Menentukan banyak cara menyelesaikan masalah dengan
kaidah pemecahan permu tasi dan kombinasi
•Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah
pemecahan permutasi dan kombinasi

•Menjelaskan pengertian kejadian, peluang, kepastian dan
kemustahilan
•Menghitung besar peluang suatu kejadian
•Menghitung peluang kejadian saling lepas
•Menghitung peluang kejadian saling bebas
•Menghitung frekuensi harapan suatu kejadian
•Menerapkan konsep peluang dalam menyelesaikan
masalah program keahlian yang berkaitan.

Setelah mempelajari matero ini para siswa diharapkan mampu:

TUJUAN PEMBELAJARAN

TEORI PELUANG

Kaidah Membilang
Notasi faktorial

Permutasi

Permutasi n unsur

Permutasi r unsur dari n unsur

Permutasi dengan unsur yang sama

Permutasi Siklis

Kombinasi
Peluang Kejadian

Kepastian, Kemustahilan dan
Peluang Komplemen

Peluang Kejadian Majemuk

Kejadian Saling Lepas
dan tidak saling lepas

Peluang Kejadian Saling
Bebas

Peluang Kejadian
Bersyarat

Frekuensi Harapan

KAIDAH MEMBILANG / PENCACAHAN

Misalkan ada 2 jalur yang menghubungkan kota A dan B,
dan ada 3 jalur yang menghubungkan kota B dan C. Ada
berapakah semua jalur yang dapat dilalui dari kota A
menuju C melalui B ?

A
B
C

1

2

p

q

r

Jalur yang dapat
dilalui adalah:

(1,p) (1,q) (1,r)

(2,p) (2,q) dan (2,r)

Semuanya ada ..... jalur

A

B =

2 jalur

B

C =

3 jalur

A

B

C = ....... jalurx

Perhatikan beberapa kasus berikut!

Aldi memiliki 2 pasang sepatu, 3 potong celana, 5 potong
baju, dan 2 buah dasi yang dapat ia pakai pada saat
pergi ke kantor. Berapa banyak semua variasi
penampilan yang dapat ia tunjukkan pada saat
berangkat ke kantor?

Analog dengan kasus yang pertama :

Pilihan sepatu = 2
Pilihan Celana = 3
Pilihan kemeja = 5
Pilihan dasi =

2 x

Banyak variasi = 60 macam

Pada prinsipnya, kaidah
membilang menyatakan bahwa:

Jika suatu kejadian merupa
kan merupakan rangkaian
dari beberapa kejadian yang
dapat terjadi dalam berbagai
cara,

Maka banyak semua rangkaian kejadian merupakan
perkaliannya

NOTASI FAKTORIAL

Bentuk

n! = n. ( n-1) ( n-2) . . .1

1! = 1

0! = 1

Contoh:

5! = 5. 4. 3.

2. 1 =

120

n! dibaca “n faktorial” didefinisikan

sebagai berikut:

Permutasi

Permutasi n unsur

Permutasi r unsur dari n unsur

Permutasi dengan unsur yang sama

Permutasi Siklis

PERMUTASI n UNSUR DARI n UNSUR

Permutasi n unsur dari n unsur dirumuskan sbb:

nP n = n !

Contoh:

Banyak semua susunan berbeda huruf – huruf pada
kata ADIK adalah:

Susunan 4 huruf dari 4 huruf :

4 P 4 = 4 ! =

4.3.2.1 = 24 susunan

Susunan berbeda huruf – huruf A dan B : AB, BA

(2 = 2x1)

Susunan berbeda huruf – huruf A, B dan C :

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA

(6 = 3x2x1) = 3!

PERMUTASI r UNSUR DARI n UNSUR

Permutasi r unsur dari n unsur dirumuskan :

n P r =
n !

(n – r ) !

Contoh :
Tentukan banyaknya semua susunan dua huruf berbeda yang
dapat dibuat dari huruf – huruf pada kata ANGKET!

Jawab:

Banyak semua susunan 2 huruf dari 6 huruf berbeda adalah:

6 P 2 =
6 !

(6 – 2 ) !

=
6 !

4 !
=
6 . 5. 4!

4 !
= 30 susunan

Mana sajakah itu???

1.

Atau diselesaikan dengan kaidah membilang :

Huruf yang tersedia : A N G K E T

Pilihan huruf pertama = 6

Pilihan huruf kedua =

5

6

( dari 6 pilihan sudah dipasang 1,
sehingga tinggal 5 pilihan )

5

Dengan kaidah
membilang,

x

= 30

Silahkan pilih, cara
mana yang lebih Anda
sukai…

Tentukan banyaknya semua bilangan dengan 3 angka yang
dapat dibuat dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7, dengan
syarat tidak ada angka yang diulang!
Jawab:

Banyak semua susunan 3 angka dari 7 angka berbeda adalah:

7 P 3 =
7 !

(7 – 3 ) !

=
7 !

4 !
=7. 6 . 5. 4!

4 !
= 210 susunan

2.

Atau, dengan kaidah membilang: buat 3 kotak kosong !

7

6

5
x x
= 210

Sama khan ???

Tentukan banyaknya semua bilangan ganjil dengan 3 angka
yang dapat dibuat dari angka – angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7,
dengan syarat tidak ada angka yang diulang!
Jawab:

Angka – angka yang tersedia :

3.

1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7

Dengan kaidah membilang :

Penentu genap / ganjil adalah
angka satuan, maka dari itu,

Angka satuan harus ganjil !

Ada 4 pilihan

4

6

5x x
= 120 bilangan

Dengan permutasi:
Pilihan agka satuan = 4
Susunan 2 angka
yang lain =

6 P 2 =
6 !
4 !
= 30

x

120 bilangan

Dengan kaidah membilang

PERMUTASI DENGAN UNSUR YANG SAMA

Permutasi n unsur dengan k dan l unsur yang sama
dirumuskan :

n P (k,l)

=
n !

k! . l!

Contoh :
Tentukan banyaknya semua susunan berbeda dari huruf –
huruf pada kata KAKAK!

Jawab:

Perhatikan huruf – huruf pada kata

1.

K A K A K

n = 5,

K =3, A = 2

5 P (3,2) =
5 !

3! . 2! = 5. 4. 3!

3! . 2.1= 10 macam

PERMUTASI SIKLIK

Pada permutasi siklik, susunan

Pn (s) = (n-1) !

Contoh :
Enam siswa akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar

a.

1.

A B C

A B C

A

B C

=

=

Permutasi siklik n unsur dirumuskan :

Berapakah semua cara mereka duduk?

b. Berapakah semua cara mereka duduk, jika dua orang

tertentu harus selalu duduk berdampingan?

Jawab :
a.

P6 (s) = (6-1) ! = 5 ! = 120 cara

b. Misal, keenam siswa tersebut adalah A, B, C, D, E,

dan F, serta dia anak yang selalu berdampingan
adalah A dan B

A

B

C

D

E

F
Cara duduk A dan B = 2 cara

A dan B dipandang
sebagai 1 unsur

Cara duduk 5 unsur melingkar =

P5(s) = (5-1) ! = 4 ! = 24 cara

Dengan kaidah membilang, maka

x

24

2 =

48

Jadi, mereka dapat duduk dengan

48 cara

x

Kombinasi (Campuran)

Perhatikan perbedaan mendasar antara permutasi dan
kombinasi berikut!

Permutasi

Kombinasi

Urutan dipertimbangkan

Urutan tidak dipertimbangkan

AB  BA

AB = BA

23  32

{2,3} = {3,2}



=

Kombinasi

LEBIH SEDIKIT

dari pada permutasi

Kombinasi r unsur dari n unsur dirumuskan :

n C r =

n !

(n – r ) ! r !

Contoh:

1. Berapa banyak semua tim bola Volley yang dapat

dibentuk dari 10 pemain terpilih?

Contoh:

Jawab:
Dari 10 pemain dibuat kombinasi 6 – 6, maka
banyak semua tim, yang dapat dibentuk adalah:

10 C 6 =

10 !

(10 – 6 ) ! 6 !

=

10 !

4 ! 6 !

=

10 . 9. 8. 7. 6 !

4 . 3. 2. 1 6 !

3

= 210 tim

2. Pak Karta akan membeli 2 ekor kerbau dari 5 ekor

kerbau milik Pak Umar

Jawab:
Pak Karta akan memilih 2 dari 5 pilihan yang
tersedia. Banyak pilihan yang ia miliki adalah:

5

C 2 =

5 !

(5 – 2 ) !

2 !

=

5 !

3 ! 2 !

=

5. 4. 3 !

3! 2.1

Ada berapakah semua cara Pak Karta memilih
kerbau yang akan ia beli ?

= 10 pilihan

Peluang Kejadian

Percobaan dan ruang sampel

1. Pelemparan sekeping uang logam

2. Pelemparan dua uang logam

3. Pelemparan tiga uang logam

4

Pelemparan sebuah dadu bermata 6

5. Pelemparan dua buah dadu bermata 6

6

Pelemparan sekeping uang logam dan
sebuah dadu bermata 6

Peluang kejadian

Percobaan dan ruang sampel

Percobaan adalah proses untuk menghasilkan kejadian

1. Pelemparan sekeping uang logam

Semua kejadian yang mungkin adalah :
Muncul Angka (A)

Muncul Gambar (G)

Himpunan semua kejadian yang mungkin disebut ruang sampel

n (S) = 2

n (S) = Banyak anggota ruang sampel

2. Pelemparan dua keping uang logam

Semua kejadian yang mungkin adalah :

AA

AG

n (S) = 4
GA

GG

Kejadian tidak muncul angka = 1 kejadian

Kejadian muncul 1 angka = 2 kejadian

Kejadian muncul 2 angka = 1 kejadian

3. Pelemparan tiga keping uang logam

Semua kejadian yang mungkin adalah :

AAA

AAG

n (S) = 8

AGA AGG

GAA GAG GGA GGG

Kejadian tidak muncul angka = 1 kejadian

Kejadian muncul 1 angka = 3 kejadian

Kejadian muncul 2 angka = 3 kejadian

Kejadian muncul 3 angka = 1 kejadian

4. Pelemparan sebuah dadu bermata 6

Semua kejadian yang mungkin adalah :

Muncul mata dadu :

n (S) = 6
1

2

3

4

5

6

Kejadian muncul mata dadu 5 = 1 kejadian

Kejadian muncul mata dadu genap = 3 kejadian

Kejadian muncul mata dadu prima = 3 kejadian

………….. dan seterusnya ……………..

4. Pelemparan dua buah dadu bermata 6

Semua kejadian yang mungkin adalah :

n (S) = 36

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2) (1,3)

(1,4) (1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2) (2,3)

(2,4) (2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2) (3,3)

(3,4) (3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2) (4,3)

(4,4) (4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2) (5,3)

(5,4) (5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2) (6,3)

(6,4) (6,5)

(6,6)

Kejadian muncul :

Mata dadu sama = 6

Mata dadu
berjumlah 5 = 4

Mata dadu dengan
selisih 2 = 8

…dan seterusnya…

Peluang kejadian

Misalkan A adalah bagian dari ruang sampel yang
dapat terjadi dengan n(A) cara, maka peluang
kejadian A adalah:

P (A) =

n (A)

n (S)

Dengan n (S) adalah banyak anggota ruang
sampel

Contoh:

1. Pada pelemparan 3 keping mata uang logam,

hitunglah peluang muncul:
a. Dua angka

b. Sedikitnya dua angka

Jawab:

Ruang sampelnya adalah

AAA AAG

n (S) = 8

AGA AGG GAA GAG

GGA GGG

a. P (2A) =

n (2A)

n (S)

3

8
=

b. P (2A, 3A) =

n (2A, 3A)

n (S)

3 +1

8

=

4

8

=

1

2

=

2. Pada pelemparan dua buah dadu bermata 6, hitunglah

peluang muncul:
a. Mata dadu sama

b. Mata dadu berjumlah 6

Jawab:

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

(1,1)

(1,2) (1,3)

(1,4) (1,5)

(1,6)

(2,1)

(2,2) (2,3)

(2,4) (2,5)

(2,6)

(3,1)

(3,2) (3,3)

(3,4) (3,5)

(3,6)

(4,1)

(4,2) (4,3)

(4,4) (4,5)

(4,6)

(5,1)

(5,2) (5,3)

(5,4) (5,5)

(5,6)

(6,1)

(6,2) (6,3)

(6,4) (6,5)

(6,6)

a. P(Sama) =

6

36

=

1

6

b. P(J 6) =

5

36

3. Dari dalam sebuah kotak yang berisi 4 kelereng

merah dan 6 kelereng putih, diambil 3 buah kelereng
secara acak. Hitunglah peluang terambil:

a. Ketiganya merah
b. Ketiganya putih
c. Dua kelereng merah dan satu kelereng putih

Jawab:
Persoalan di atas dapat diselesaikan dengan kombinasi

Banyak cara mengambil 3 kelereng merah dari 4
kelereng merah adalah 4 C 3
Banyak cara mengambil 3 kelereng dari 10 kelereng
merah adalah 10 C 3
.............dan seterusnya……………

a.

P (3M) =

4 C 3

10 C 3=

4 !

(4-3) !

3 !

10 !

(10-3) ! 3 !

=

4 !

1 !

3 !

10 !

7 !

3 !

=
4. 3. 2. 1

1 !

10. 9. 8. 7!

7 !

=
3

90

=
1

30

b.

P (3P) =

6C 3

10 C 3=

6 !

(6-3) !

3 !

10 !

(10-3) ! 3 !

=

6 !

3 !

3 !

10 !

7 !

3 !

=
6. 5. 4. 3 !

3 !

10. 9. 8. 7!

7 !

=
120

720

=
1

6

c.

P (2M,P) =

4C 2

10 C 3

6 C 1

=

…coba dikerjakan……..!

Kepastian, Kemustahilan, dan Peluang
Komplemen

Suatu kejadian mempunyai peluang dari 0 (nol) sampai
dengan 1

Kejadian dengan nilai peluang 1 disebut kepastian
Contoh:

Munculnya mata dadu genap atau ganjil pada
pelemparan sebuah dadu

Ruang sampel = 1

2

3

4

5

6

Genap = {2, 4, 6}
Ganjil = {1, 3, 5}
Genap U Ganjil = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

N (Genap U Ganjil )= 6

P ( Genap U Ganjil ) = 6

6
= 1

Kejadian dengan nilai peluang 0 disebut kemustahilan

Contoh:

Munculnya mata dadu dengan jumlah 1 pada
pelemparan dua buah dadu secara bersamaan
Pada pelemparan dua buah dadu bermata 6 secara
bersamaan, jumlah mata dadu adalah dari 2
sampai dengan 12, jadi tidak ada yang berjumlah 1

Peluang Komplemen

Jika kejadian A adalah bagian dari ruang sampel, dan Ac
adalah kejadian selain A, maka berlaku:

P (A) + P (Ac) = 1

Akibatnya :

P (Ac) = 1

-

P (A)

Contoh:

Pada pelemparan sebuah dadu bermata 6,
tentukanlah peluang muncul mata dadu selain 5

Jawab :
Kejadian muncul mata dadu 5 ada 1 kejadian

P(5) =

1

6
P(5c) =

1

1

6
-

=

5

6

Bukti :
Kejadian muncul mata dadu selain 5 adalah 1, 2, 3, 4, 6

ada 5 kejadian

P(5) =

5

6

Terbukti sama

Frekuensi Harapan

Jika suatu perecobaan diulang sebanyak n kali, dan A
adalah kejadian dalam ruang sampel, maka frekuensi
harapan kejadian A adalah:

Fh (A) = P (A) x n

Contoh:
Sebuah dadu bermata 6 dilempar undi sebanyak 180 kali.
Frekuensi harapan muncul mata dadu kurang dari 3
adalah…
Jawab:

S = 1

2

3

4

5

6

P (<3) =
2
6=
1
3

Fh (<3) = 1

3
x 180

=

60 kali

Peluang Kejadian Majemuk

Kejadian Saling Lepas dan Tidak Saling Lepas

Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Bersyarat

Kejadian Saling Lepas dan Tidak Saling Lepas

Kejadian A dan B dikatakan Saling Lepas jika irisannya
merupakan himpunan kosong
Jika A dan B merupakan kejadian saling lepas, maka
berlaku :
P (AUB) = P (A) + P (B)
Kejadian A dan B dikatakan Tidak Saling Lepas jika
irisannya bukan merupakan himpunan kosong
Jika A dan B merupakan kejadian saling lepas, maka
berlaku :
P (AUB) = P (A) + P (B)

P (B)

P ( AП B)

Contoh:
Sebuah dadu bermata 6 dilempar undi sebanyak 1 kali.
Berapakah peluan muncul:
a. Mata dadu 5 atau genap
b. Mata dadu prima atau genap

Jawab:

Munculnya mata dadu 5 atau genap merupakan kejadian
yang saling lepas karena tidak ada mata dadu genap
yang bernilai 5

a.

P (5UG) = P (5) + P (G)

= 1

6+
3
6
=
4
3

=
2
3

Munculnya mata dadu prima atau genap merupakan
kejadian yang tidak saling lepas karena ada mata dadu
genap yang juga merupakan bilangan prima yaitu 2

a.

P (PUG) = P (P) + P (G)

= 3

6+
3
6

1
6
=
5
6

P ( PП G)

Kejadian Saling Bebas dan Kejadian Bersyarat

Kejadian A dan B dikatakan Saling Bebas jika
keduanyatidak saling mempengaruhi

Jika A dan B merupakan kejadian saling bebas, maka
berlaku :

P (A П B) = P (A) x P (B)

Kejadian A dan B merupakan kejadian bersyarat jika
kejadian A menjadi syarat terjadinya kejadian B, atau
sebaliknya

Jika A dan B merupakan kejadian bersyarat, maka
berlaku :

P (A П B) = P (A) x P (B\A)
(B\A) dibaca kejadian B dengan syarat A telah terjadi

Contoh:
Dari dalam sebuah kotak yang berisi 2 bola merah dan 3
bola putih diambil dua buah bola secara berurutan.
Berapakah peluan terambilkedua bola berwarna
merahn jika

a. Bola pada pengambilan pertama dikembalikan
b. Bola pada pengambilan pertama tidak dikembalikan

Jawab:

Pengembalian bola I tidak mempengaruhi kejadian
berikutnya

a.

P (A) =

Misal: A adalah kejadian terambil bola merah pada

penganbilan pertama dan B adalah kejadian
terambil bola merah pada pengambilan kedua

2
5

P (B) = 2

5

P (A П B) = P (A) x P (B)

=
2
5
x
2
5

=
4
25

Bola I yang tidak dikembalikan menyebabkan terjadinya
perubahan ruang sampel pada mempengaruhi kejadian
berikutnya

a.

P (A) =
2
5

P (B\A) = 1

4

P (A П B) = P (A) x P (B\A)

=
2
5
x
1
4

=
1
10

SELESAI

TERIMA KASIH ATAS

PERHATIANNYA