Logica

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Logica

Proposizioni logiche

Una proposizione logica o un enunciato è una frase a proposito
della quale possiamo dire se è vera o falsa. Ad essa, cioè, si può
attribuire un valore di verità: o vero (V), o falso (F).

Per indicare una proposizione usiamo una lettera maiuscola.

ESEMPIO

Sono proposizioni logiche:
A: «2 + 3 = 5», cha ha valore di verità V,
B: «Napoleone è nato nel 2009», cha ha valore di verità F.

Non è un enunciato logico:
«Meglio le vacanze al mare che al lago».

Connettivi logici

Le proposizioni semplici sono composte solo da soggetto e predicato.

Possiamo formare una proposizione composta combinando più proposizioni semplici tramite degli operatori detti connettivi logici.

La tavola di verità è una tabella in cui si riportano le proposizioni elementari, le proposizioni composte e i relativi valori di verità possibili.

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ESEMPIO

Negazione (non)

La negazione di una proposizione A è la proposizione «non A», che risulta vera se A è falsa e falsa se A è vera.

La indichiamo con ̅𝐴, che leggiamo «non A».

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ESEMPIO

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Congiunzione (e)

La congiunzione di due proposizioni A e B è la proposizione «A e B».
Essa è vera solo se le due proposizioni sono entrambe vere.
In tutti gli altri casi è falsa.

La indichiamo con A ∧ B , che leggiamo «A e B».

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Disgiunzione inclusiva (o)

La disgiunzione inclusiva di due
proposizioni A e B è la proposizione «A o B».

Essa è falsa solo se le due
proposizioni sono entrambe false. In tutti gli altri casi è vera.

La indichiamo con A ∨ B, che
leggiamo «A o B».

ESEMPIO

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Disgiunzione esclusiva (o... o...)

La disgiunzione esclusiva di due proposizioni A e B è la proposizione «o A o B».

Essa è vera solo se una
proposizione è vera e l’altra è falsa.

La indichiamo con A ⩒ B, che leggiamo «o A o B».

ESEMPIO

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Implicazione materiale

L’implicazione materiale di due proposizioni A e B è la proposizione «se A, allora B» che risulta falsa solo se A è vera e B è falsa.
In tutti gli altri casi è vera.


La indichiamo con A → B, che leggiamo «A implica B».

ESEMPIO

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Doppia implicazione

La doppia implicazione di due
proposizioni A e B è una proposizione vera se A e B sono entrambe vere o entrambe false. Negli altri due casi è falsa.

La indichiamo con A ↔ B, che leggiamo «A se e solo se B».

ESEMPIO

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Espressioni logiche

Componendo più proposizioni con i connettivi esaminati finora si ottengono le espressioni logiche.
Le precedenze da rispettare quando ci sono più connettivi sono:
● se non ci sono parentesi, si segue l’ordine ', ∧, ∨, ⩒, →, ↔;
● se ci sono parentesi, si svolgono prima le parentesi tonde, poi le quadre, poi le graffe.

ESEMPIO

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Equivalenza di espressioni logiche

Due espressioni logiche si dicono equivalenti se hanno uguale la relativa colonna della tavola di verità. Per esprimere l’equivalenza fra due espressioni logiche usiamo il simbolo = .

ESEMPIO

Proprietà delle operazioni logiche

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Tautologie e contraddizioni

ESEMPIO

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Tautologie e contraddizioni

Tautologia

Contraddizione

Multiple Choice

Stabilisci se le seguenti proposizioni composte con le proposizioni elementari A, B e C sono delle tautologie o delle contraddizioni.

$$A\ \vee\ \overline{A\ }$$

• tautologia

• contraddizione

• ne' uno ne' l'altro

Multiple Choice

Stabilisci se le seguenti proposizioni composte con le proposizioni elementari A, B e C sono delle tautologie o delle contraddizioni.

$$\left(A\ \vee\ \overline{A\ }\ \right)\leftrightarrow\ \left(B\wedge\ \overline{B\ }\right)$$

• tautologia

• contraddizione

• ne' uno ne' l'altro

Multiple Choice

Stabilisci se le seguenti proposizioni composte con le proposizioni elementari A, B e C sono delle tautologie o delle contraddizioni.

$$\left(A\ \vee\ \overline{C\ }\ \right)\rightarrow\ \ B$$

• tautologia

• contraddizione

• ne' uno ne' l'altro

Multiple Choice

Valuta se la seguente frase è una proposizione logica. Se lo è indica il suo valore di verità.

"Che strano esercizio!"

• VERO

• FALSO

• non una proposizione logica

Multiple Choice

Valuta se la seguente frase è una proposizione logica. Se lo è indica il suo valore di verità.

"1²=5"

• VERO

• FALSO

• non una proposizione logica

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ESEMPIO

Enunciati aperti

Un enunciato che contiene una o più variabili, ognuna con valori scelti
in un dominio, è un enunciato aperto o predicato.

Bergamini, Barozzi, Trifone Matematica.blu © Zanichelli 2022
Copia riservata all'insegnante Valentina Rolando - 689395

​Dato un enunciato aperto A(x),

con x∈U , chiamiamo insieme di

verità A il sottoinsieme di U degli

elementi che sostituiti a x

rendono vero l’enunciato.

Insiemi di verità

ESEMPIO

ESERCIZIO

Nei seguenti esercizi, per ogni enunciato, indica un insieme universo U e rappresenta l’insieme di verità con un diagramma di Venn. Fornisci degli esempi di elementi di U che non rendono vero l’enunciato aperto.

QUIZ nelle prossime diapositive:
Considera due enunciati aperti A(x) e B(x), definiti sullo stesso dominio U e aventi insiemi di verità A e B, rispettivamente.

Connettivi logici e insiemi

ESEMPIO
A è l’insieme di verità dell’enunciato:
A(x): «x è un triangolo».
Il suo complementare è AU che è
l’insieme di verità dell’enunciato:
A(x): «x non è un triangolo».

​ESEMPIO
Consideriamo gli enunciati
A(x): «x è un triangolo» B(x): «x è una figura arancione» e i loro insiemi di verità A e B.
A(x) ∨ B(x): «x è un triangolo o una figura arancione» è un enunciato vero per gli elementi dell’insieme A ∪ B.
A(x) ∧ B(x): «x è un triangolo arancione» è un enunciato vero per gli elementi dell’insieme A ∩ B.

Multiple Choice

L’insieme di verità di A(x) ∧ B(x) è A ∪ B

• VERO

• FALSO

Multiple Choice

L’insieme di verità di A(x) ∨ B(x) è A ∪ B

• VERO

• FALSO

Multiple Choice

L’insieme di verità di A(x) ⋀ B(x) è A ⋂ B

• VERO

• FALSO

Multiple Choice

L’insieme di verità di A(x) ⋀ B(x) è A - B

• VERO

• FALSO

Multiple Choice

L’insieme di verità di $$\overline{A\left(x\right)\ }$$ è $$\overline{A_B\ }$$

• VERO

• FALSO

Multiple Choice

L’insieme di verità di $$\overline{A\left(x\right)\ }$$ è $$\overline{A_U\ }$$

• VERO

• FALSO

Multiple Choice

La parte colorata del diagramma di Venn in figura corrisponde all’insieme di verità di:

• $$A\left(x\right)\wedge\ B\left(x\right)$$

• $$A\left(x\right)\wedge\ \overline{B\left(x\right)\ }$$

• $$\overline{A\left(x\right)\wedge\ B\left(x\right)\ }$$

• $$\overline{A\left(x\right)\ }\wedge\ B\left(x\right)$$

Quantificatori

● Il quantificatore universale ∀ («per ogni», «qualsiasi») serve per affermare che una proprietà è vera per tutti gli elementi di un

insieme.

● Il quantificatore esistenziale ∃ («esiste un» o «esiste almeno un») serve per affermare che esiste almeno un elemento dell’insieme
considerato per cui la proprietà è vera.

● Si usano anche i simboli ∄(«non esiste») e ∃! («esiste ed è unico»)

ESEMPIO

Multiple Choice

Dato l'enunciato A(x): "x è divisibile per 4", che cosa significa $$\exists\ x\ \in\mathbf{N}\ \left|\ A\left(x\right)?\right|$$

• Non esistono numeri naturali divisibili per 4.

• Esiste almeno un numero naturale divisibile per 4.

• Esistono infiniti numeri naturali divisibili per 4.

• Esiste almeno un numero naturale che non sia divisibile per 4

Multiple Choice

Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

• Alcuni multipli di 4 sono anche multipli di 8.

• Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4

• Tutti i numeri pari sono fra i multipli di 8

• Alcuni numeri pari non sono multipli di 8

• Alcuni numeri pari sono multipli di 8

Multiple Choice

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

• Ogni numero intero divisibile per 3 è divisibile per 9.

• Ogni numero intero divisibile per 4 è divisibile per 2.

• Se il prodotto di due numeri interi è divisibile per 5, ognuno dei due interi è divisibile per 5.

• Se la somma di due numeri interi è divisibile per 5, ognuno degli addendi è divisibile per 5.