Уравнения

Тема урока: Уравнения. Решение уравнений.

Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется корнем уравнения.
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней.

Решение уравнения

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением

Уравнение

Что такое уравнение и что значит решить уравнение?

Составляющие линейного уравнения

Линейное уравнение с одной неизвестной

3. Слагаемые с неизвестным перенести в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую.

4. Привести подобные слагаемые в правой и левой частях уравнения.

5. Разделить обе части уравнения на число перед неизвестным (если это число не равно нулю).

6. Записать ответ. 

1. Раскрыть скобки, то есть умножить каждое слагаемое в скобках на число за скобками. Не забыть при умножении на отрицательное число знак каждого слагаемого в скобках поменять на противоположный.

2. Привести подобные слагаемые в правой и левой частях уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения

Пример решения:

1. Первым действием мы раскрываем скобку, перемножая 20 на оба числа в скобке.

2. Вторым действием мы переносим неизвестные в одну сторону и числа в другую, не забывая про смену знаков.

3. Третье действие - приведение подобных.

4. В четвертом действии мы делим свободный член уравнения на коэффициент при неизвестной, тем самым находя саму неизвестную.

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $6x+1=-4x$

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $5\left(x-6\right)=2$

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $9-2\left(-4x+7\right)=7$

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $\left(4x-6\right)-\left(9x-4\right)=18$

​Равносильные уравнения

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
Основные равносильные преобразования уравнений:

• Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками

• Умножение или деление левой и правой частей уравнения одновременно на число, не равное нулю
  
  
  

В первом уравнение все коэффициенты уравнения делятся на 6. Воспользовавшись преобразованием, а именно делением на 6, мы получим второе уравнение. Эти уравнения также будут являться равносильными.

Можно заметить что, если мы поменяем в первом уравнении местами -7 и x (не забывая про смену знаков), то получим второе уравнение. Такие уравнения будут равносильными и их решение будет одинаковое.

Рассмотрим примеры:

Multiple Choice

Являются ли уравнения $$5x=-10\ и\ -2x=4$$ равносильными?

• Да

• Нет

Multiple Choice

Будут ли эти уравнения равносильными?
$$4x-3=2x+5\ и\ 4x-2x=5+3$$

• Да

• Нет

Fill in the Blanks

Чему равен X в уравнениях $4x-3=2x+5\ и\ 4x-2x=5+3$

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $8x+4=2x+22$

Как решать дробные уравнения?

Рассмотрим решение двумя способами

При решении дробных уравнений с помощью пропорций мы используем основное свойство пропорции. Так наше уравнение сводится к линейному. После того как мы избавились от знаменателей, мы решаем обычное линейное уравнение.

​1. Пропорция

Рассмотрим решение двумя способами

Что бы решить уравнение вторым способом, необходимо подобрать общий знаменатель дробей. После того как мы его подобрали(в нашем случае это 18), мы умножаем каждую из частей уравнения на это число. Далее мы умножаем дроби и не забываем про сокращение. После того как мы избавились от дробей, решаем обычное линейное уравнение.

​2. Умножение

Рассмотрим более сложный пример:

Ищем наименьшее число, которое делится на 5 и 9 без остатка. Нам подходит число 45.
Далее умножаем все уравнение на 45 и сокращаем знаменатели. После сокращения раскрываем скобки и решаем линейное уравнение.

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $\frac{x}{12}=\frac{15}{8}$ , ответ запишите в виде десятичной дроби

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $\frac{x+7}{2}+\frac{2x+1}{3}=5$

Fill in the Blanks

Решите уравнение: $\frac{x+3}{4}-9=\frac{2x-1}{3}$

Fill in the Blanks

Решите уравнение $\frac{2\left(x+6\right)}{5}=\frac{-12\left(3-x\right)}{6}$

​Произведение равно нулю.

​Алгоритм:
1. Каждый множитель уравнения приравниваем к нулю.
2. Решаем получившиеся уравнения.
3. Корни получившихся уравнений будут решением всего уравнения.

Рассмотрим пример:

​При решении таких уравнений не важно сколько у нас множителей. Каждый из них мы приравниваем к 0. Далее в данном примере у нас получает 3 уравнения. Мы решаем каждое уравнение по отдельности, находим x. Ответом таких уравнений будут все полученные x.

Fill in the Blanks

Решите уравнение, в ответ запишите меньший из корней. $\left(2x-6\right)\left(x+8\right)\left(3-5x\right)=0$

Fill in the Blanks

Решите уравнение, в ответе укажите больший из корней $\left(2x-3\right)^2\left(15x-30\right)=0$

Fill in the Blanks

Решите уравнение $\left(625x^2-529\right)\left(-5x-14\right)=0$ , если корней несколько в ответе укажите меньший

Метод группировки

​Метод группировки - один из способов вынесения общего множителя. Этот метод может здорово облегчить решение уравнений.
Рассмотрим пример:
Для решения данного уравнения мы воспользовались группировкой, что привело уравнение к виду "произведение равно нулю". С помощью разложения на множители мы справились с решением такого сложного уравнения.

Fill in the Blanks

Решите уравнение, если корней несколько запишите больший. $x^3+3x^2-25x-75=0$

Fill in the Blanks

Решите уравнение, если корней несколько в ответе укажите меньший $x^2+5x-2x-10=0$