SPLDV

Bahan Ajar

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

VERONIKA VENKUNIA,S.Pd

OLEH :

Setelah melakukan kegiatan belajar 1 Peserta didik diharapkan dapat:
Merumuskan bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dari
masalah kontekstual

Kegiatan Belajar 1

Menjelang hari raya lebaran tahun 2024 Konsentrasi Keahlian
Agribisnis Pengolahan Hasil Pertanian (APHP) SMK Negeri 1 Borong
menawarkan paket kue kering yang berisi beberapa jenis kue. Paket 1
terdiri dari 2 stoples kue nastar ,1 stoples kue putri salju dan 3 stoples
kue semprit dengan harga Rp 126.500,00. Paket II terdiri dari 2 stoples
kue nastar ,2 stoples kue putri salju dan 1 stoples kue semprit dengan
harga Rp 116.000,00. dan paket yang ketiga terdiri dari 2 stoples kue
nastar ,3 stoples kue putri salju dan 2 stoples kue semprit dengan
harga Rp 144.500,00.

PERHATIKAN MASALAH BERIKUT

Untuk menemukan solusi dari masalah diatas , Peserta didik mengingat
kembali materi tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
pada saat SMP. Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang
menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem
persamaan linear. Permasalahan - permasalahan tersebut akan menjadi
bahan inspirasi menyusun model-model matematika yang ditemukan
dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, akan dijadikan
bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan
konsep sistem persamaan linear tiga Variabel. Bagaimana caranya ? Kita
akan menemukan solusinya pada kasus yang berbeda tapi dengan
maksud dan tujuan yang sama dengan permasalahan diatas. Untuk itu
Peserta didik diarahkan untuk mengerjakan LKPD 1 yang telah disiapka
lakukanlah

Dengan berkelompok

kerjakanlah masalah yang

terdapat dalam Lembar Kerja

Peserta Didik (LKPD) 1

Kegiatan Belajar 1

Kegiatan Belajar 2

Setelah melakukan kegiatan belajar 2
Peserta didik diharapkan dapat:

Menentukan solusi sistem persamaan Linear Tiga
Variabel dengan menggunakan metode Eliminasi
,substitusi dan Gabungan (Eliminasi dan substitusi

Menentukan solusi sistem

persamaan linear tiga variabel

dengan metode eliminasi , substitusi

dan gabungan (Eliminasi dan

substitusi)

Dengan berkelompok
kerjakan Lembar Kerja
Peserta Didik (LKPD) 2

Contoh soal 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46

Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4)

11x + 13z = 87
11x + 13.5 = 87
11x + 65 = 87

11x = 22

x = 2

Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3)

sehingga

5x +2y +6z = 46
5.2 +2y +6.5 = 46
10 + 2y + 30 = 46

2y = 6
y = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

3x + 4y – 3z = 3 …………………………….(1)
2x – y + 4z = 21 …………………………….(2)
5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3)

Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh

3x + 4y – 3z = 3 |1| → 3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21 |4| → 8x – 4y+16z = 84 +

. 11x + 13z = 87 ……………..(4)

Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh

5x + 2y + 6z = 46 |1| → 5x + 2y + 6z = 46

2x – y + 4z = 21 |2| → 4x – 2y + 8z = 42 +
. 9x + 14z = 88 …………..(5)

Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh

9x + 14z = 88 |11| 99x +154z = 968

11x + 13z = 87 |9| 99x + 117z=783 _

. 37z = 185

. z = 5

METODE ELIMINASI

PENYELESAIAN

CONTOH SOAL

Contoh soal 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46

Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3)

2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1)
3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2)
6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3)
Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut

2x + 5y + 4z = 28

4z = 28 – 2x – 5y………………………………………..(4)

Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga

3x – 2y + 5z = 19

Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh

12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76

2x -33y = -64 ……………………………………….(5)

Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga

6x + 3y – 2z = 4

METODE SUBSTITUSI

PENYELESAIAN

CONTOH SOAL

Jika kedua ruas dikali 4 maka
24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16

28x + 22y = 72
14x + 11y = 36
11y = 36 – 14x

…………………………………………(6)

Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5)

sehingga

2x -33y = -64

2x – 108 + 42x = -64

44x = 44

x=1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}

Contoh soal 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

3x + 4y – 3z = 3
2x – y + 4z = 21
5x + 2y + 6z = 46

Pembahasan :
Langkah pertama kita eliminasi salah satu peubah dalam SPLTV sehingga diperoleh
SPLDV.
x + 3y + 2z = 16 |x 2| ⇒ 2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12 |x 1| ⇒ 2x + 4y - 2z = 12
x + y + 4z = 20 |x 2| ⇒ 2x + 2y + 8z = 40
Selanjutnya, kita eliminasi peubah x sehingga diperoleh sistem persamaan linear dua
variabel dengan variabel y dan z dengan proses seperti di bawah ini.
Dari persamaan pertama dan kedua diperoleh:
2x + 6y + 4z = 32
2x + 4y - 2z = 12
_
2y + 6z = 20
Dari persamaan kedua dan ketiga diperoleh:
2x + 4y - 2z = 12
2x + 2y + 8z = 40
_
2y - 10z = -28

METODE CAMPURAN

PENYELESAIAN

Dengan demikian kita peroleh SPLDV sebagai berikut:
2y + 6z = 20
2y - 10z = -28
Kalau pada metode eliminasi, SPLDV di atas kita selesaikan
dengan metode eliminasi. Pada metode campuran, SPLDV nya kita
selesaikan dengan metode substitusi sebagai berikut:
Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y = 20 - 6z
Substitusi 2z ke persamaan kedua:
⇒ 2y - 10z = -28
⇒ (20 - 6z) - 10z = -28
⇒ -16z = -28 - 20
⇒ -16z = -48
⇒ z = 3

Selanjutnya substitusi nilai z untuk mendapat nilai y:
⇒ 2y + 6z = 20
⇒ 2y + 6(3) = 20
⇒ 2y + 18 = 20
⇒ 2y = 20 - 18
⇒ 2y = 2
⇒ y = 1
Langkah terakhir, substitusi nilai y dan z yang diperoleh ke salah satu persamaan pada
SPLTV:
⇒ x + 3y + 2z = 16
⇒ x + 3(1) + 2(3) = 16
⇒ x + 3 + 6 = 16
⇒ x + 9 = 16
⇒ x = 16 - 9
⇒ x = 7
Jadi himpunan penyelesaian SPLTV tersebut adalah {(7 1 3)}

Thank You

Which shape has three sides and three angles?

Number 1

a. Circle

b. Square

c.

Rectangle

d.

Triangle