Урок без названия

ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ.

ОСНОВНІ ПРАВИЛА
КОМБІНАТОРИКИ

Підготувала:

вчителька математики

Сільченко А. М.

:

Алгебра, 9

клас

,

Автори

: А.Г. Мерзляк / В.Б.

Полонський

/ М.С.

Якір

, 2017.

КОМБІНАТОРИКА – ЦЕ

розділ

математики, в

якому

вивчаються

питання

про те,

скільки

різних

комбінацій

,

що

відповідають

тим

чи

іншим

умовам

можна

скласти

із

заданих

об’єктів

.

ДОВІДКА

Термін

«комбінаторика» ввів

німецький мате-
матик Готфрід

Вільгельм Лейбніц

(1646–1716)
у своїй праці

«Міркування про

комбінаторне

мистецтво», яка
вийшла друком у

1666 р.

Готфрід Вільгельм

Лейбніц

Комбінаторика

використовується в

хімії для вивчення

різних можливих типів

зв’язків атомів у

молекулах; у біології,
наприклад у процесі

знаходження послідов-
ностей амінокислот у

білкових сполуках; у

кібернетиці при

розв’язуванні задач

кодування тощо.

КОМБІНАТОРИКА

дає змогу відповісти на запитання:

•

Скількома

способами

учні

вашого

класу

можуть

стати один за

одним у

черзі

до

ідальні

?

•

Скількома

способами

можна

вибрати

у

вашому

класі

старосту та

його

заступника?

•

Скількома

способами

можуть

бути

оцінки

з

алгебри

у

вашому

класі

?

І не тільки…

СХЕМА

РОЗВ’ЯЗАННЯ

КОМБІНАТОРНИХ

ЗАДАЧ

ВИБІР ПРАВИЛА

Правило

ПРАВИЛО

СУМИ

Якщо елемент

А можна вибрати m способами, а

елемент В − n способами,

то А

або В можна

вибрати

(

m+n

) способами.

ЗАДАЧА 1.

• Ірина вирішила купити

або морозиво,

або

тістечко. У магазині морозиво було трьох

видів, а тістечка − п’яти видів.

• Скількома способами Іринка може
вибрати

або

одне морозиво,

або

одне

тістечко?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• Одне морозиво можна вибрати 3 способами,

а одне тістечко — 5 способами.

Оскільки Іринка обирає

або морозиво,

або тістечко,

то всього в неї 3

+ 5 = 8 (способів).

Відповідь: 8 способів.

ЗАДАЧА 2.

• У ящику є 10 білих, 7 чорних і 3 червоні кульки.

• Скількома способами можна вибрати:

1) або одну чорну кульку,

або

одну білу кульку;

2)

або

одну чорну кульку, або одну червону

кульку?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• 1. Білу кульку можна вибрати 10 способами,

а чорну кульку — 7 способами.

Оскільки треба вибрати

або чорну кульку,

або

білу кульку, то це можна зробити

7

+ 10 = 17 (способами).

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• 2. Чорну кульку можна вибрати 7 способами,

а червону кульку — 3 способами.

• Оскільки треба вибрати або чорну кульку,

або червону кульку, то це можна зробити

7 + 3 = 10 (способами).

• Відповідь: 1) 17 способами, 2) 10 способоми.

ПРАВИЛО

ДОБУТКУ

Якщо елемент А можна вибрати m

способами, а елемент В можна

вибрати n способами,
то А

і В можна вибрати

(

m

∙

n

) способами.

ЗАДАЧА 3.

• Саша вирішив у вихідний відвідати

спочатку одну із двох виставок,

а

потім

подивитися один із чотирьох кінофільмів.

• Скількома способами Саша може

спланувати свій вихідний?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• Виставку можна вибрати 2 способами, а кінофільм — 4 способами.

Якщо Саша спочатку відвідає першу виставку, то кінофільм він
може обрати одним із чотирьох способів, тобто має 4 варіанти

планування свого вихідного.

• Якщо ж Саша спочатку відвідає другу виставку, то кінофільм він

зможе обрати також одним із чотирьох способів. У цьому разі
Саша матиме також 4 варіанти планування свого вихідного.

• Загалом у нього 2

· 4 = 8 (способів) планування вихідного.

Відповідь: 8 способами.

№21.3.°

• Тетянка має п’ять суконь

і три пари

черевичків.

• Скільки варіантів вибрати вбрання є в

Тетянки?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• Сукню Тетянка може вибрати 3 способами,

а одну пару черевичок — 5 способами.

Оскільки тетянка обирає

і сукню, і

черевички, то всього в неї

3

· 5 = 15 (способів).

Відповідь: 15 способів.

САМОСТІЙНЕ ВИКОНАННЯ

✓№21.4.°

✓№21.7.°

ЗАДАЧА 4.

•Скількома способами можна

скласти у школі розклад
уроків на один день із семи

різних навчальних

предметів?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• На перший урок можна поставити один

із семи навчальних предметів, на другий – один із шести

предметів, на третій – один з п’яти і т. д.

• Отже, маємо 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 7! =5040 способів, щоб

скласти розклад.

• Відповідь: 5040 способи.

ДОВІДКА

▪У математиці добуток усіх натуральних чисел від
одиниці до n включно, позначають n! і називають

факторіалом

натурального числа

n:

n!

= 1 · 2 · 3 ·…· n.

▪Наприклад: 1! = 1, 2! = 1 · 2, 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7.
▪Зверніть увагу:
▪приймають, що 0! = 1;
▪факторіал є визначеним тільки для цілих невід’ємних
чисел.

ЗАДАЧА 5.

•Скількома способами можна

скласти трицифрове число

із цифр 1, 2, 5?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• Цифра 1 може бути або першою цифрою шуканого числа, або

другою, або третьою.

Маємо три способи її розміщення в записі числа.

• Для цифри 2, як і для цифри 5, маємо також по три способи

розміщення в записі числа, оскільки цифри в записі числа можуть

повторюватися.

• Отже, одержуємо 3 · 3 · 3 = 27 трицифрових чисел, які можна

скласти із заданих цифр.

• Відповідь: 27 способами.

№21.9.°

•Скільки чотирицифрових чисел, усі
цифри яких різні, можна скласти із

цифр 1, 2, 3, 4, якщо ці числа

мають починатися:

1) із цифри 4; 2) із запису «23»?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• Цифра 4 має бути першою цифрою шуканого числа

(за умовою), то її обираємо лише одним способом.

• Другу цифру можемо обрати трьома способами (бо

цифри не мають повторюватися (за умовою),

третю цифру можемо обрати двома способами і для

четвертої цифри залишається один спосіб.

• Отже, одержуємо 1 · 3 · 2 · 1 = 6 (способів).

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• Цифри 2 і 3 мають бути першою та другою

відповідно цифрами шуканого числа (за умовою), то

їх обираємо лише одним способом.

• Третю цифру можемо обрати двома способами (бо

цифри не мають повторюватися (за умовою) і для

третьої цифри залишається один спосіб.

• Отже, одержуємо 1 · 1 · 2 · 1 = 2 (способи).

• Відповідь: 1) 6 способів, 2) 2 способи.

САМОСТІЙНЕ ВИКОНАННЯ

✓№ 21.10.•

№21.13. •

•Монету підкидають 3 рази.
Скільки різних послідовностей

гербів і цифр можна отримати?

РОЗВ’ЯЗАННЯ

2 ПІДКИДАННЯ

1 ПІДКИДАННЯ

3 ПІДКИДАННЯ

АБО

АБО

АБО

• Отже, при кожному підкиданні монети маємо 2 варіанти –

цифра обо герб. У результаті можемо отримати 2 · 2 · 2 = 8

послідовностей цифр і гербів можемо отримати.

• Відповідь: 8 послідовностей.

САМОСТІЙНЕ ВИКОНАННЯ

✓№ 21.14.•

№ 21.17.••

•Скільки існує парних
п’ятицифрових чисел?

ДОВІДКА

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

▪Для того, щоб число ділилося на 2, достатньо
щоб його остання цифра ділилася на 2.
Під це правило підпадають всі парні числа.

▪Парними називаються числа, які діляться
націло на 2.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

• Першу цифру

п’ятицифрового числа

можна обрати 9

способами.

✓ 0 2 4 6 8
✓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

• Щоб обрати другу,

третю та

четверту цифри

маємо 10 способів.

✓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8

• Останню

цифру можемо

обрати 5
способами.

• Отже, існує 9· 10 · 10 · 10 · 5 = 45 000 парних п’ятицифрових

чисел.

• Відповідь: 45 000 .

САМОСТІЙНЕ ВИКОНАННЯ

✓№ 21.18.••

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

✓https://www.google.com/search?q=%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D1%96%D0%B4+%D0
%92%D1%96%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC+%D0%9B%D0%B5%D0%B
9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86&rlz=1C1CHWL_ruUA736UA736&sxsrf=ALeKk00AIL8SMrcv9G5MeC4
cxidl7d9sLg:1585850169213&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwiN24KgqMroAhWawsQBHRyAD

R4Q_AUoAXoECBkQAw&biw=1366&bih=625#imgrc=qL1oLsLMqCereM

✓АЛГЕБРА : ПІДРУЧ. ДЛЯ 9 КЛАСУ ЗАГАЛЬНООСВІТ. НАВЧ. АКЛ. / Н. А. ТАРАСЕНКОВА, І. М.

БОГАТИРЬОВА, О. М. КОЛОМІЄЦЬ, З. О. СЕРДЮК. — К. : УОВЦ «ОРІОН», 2017. — 272 С.

✓АЛГЕБРА : ПІДРУЧ. ДЛЯ 9 КЛ. ЗАГАЛЬНООСВІТ. НАВЧ. ЗАКЛАДІВ / А. Г. МЕРЗЛЯК, В. Б.

ПОЛОНСЬКИЙ, М. С. ЯКІР. —Х. : ГІМНАЗІЯ, 2017. — 272 С. : ІЛ.

✓HTTPS://DRIVE.GOOGLE.COM/FILE/D/1DGJ67HUFSZOZN5YZAQMTX3ZZFNWEY1QF/VIEW