Statistika

BAHAN BACAAN PESERTA DIDIK

KEGIATAN PEMBELAJARAN 1

PENYAJIAN DATA

A.Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan kalian dapat menyajikan data dengan

menggunakan berbagai diagram, tabel distribusi frekuensi, dan histogram serta dapat

menggunakannya untuk menyelesaikan masalah terkait statistika.

B.Uraian Materi

Ketika seseorang peneliti ingin mengetahui kondisi suatu hal tidak jarang peneliti harus

mengumpulkan data terlebih dahulu. Sebagai contoh, seorang peneliti ingin mengetahui

kondisi jumlah penduduk Indonesia selama 20 tahun sebelumnya. Dengan demikian

peneliti dapat mengumpulkan data jumlah penduduk Indonesia setiap tahunnya kemudian

dapat mendiskripsikan, mendapatkan informasi yang berguna mengenai jumlah penduduk,

dan bahkan dapat memprediksi keadaan jumlah penduduk Indonesia di tahun-tahun

mendatang.

Penyajian data yang baik dan benar tentunya sangat bermanfaat untuk memberi gambaran

yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau

observasi, data lebih cepat dimengerti, memudahkan dalam membuat analisis data, dan

pengambilan keputusan atau kesimpulan lebih tepat, cepat, dan akurat.

Di SMP, tentunya kalian telah mempelajari beberapa bentuk penyajian data dalam bentuk

diagram, seperti diagram garis, diagram batang, diagram lingkaran, dan lainnya.

1.Diagram Garis

Diagram garis digunakan untuk menyajikan perkembangan data statistik yang kontinu

(berkesinambungan), misalnya jumlah penduduk tiap tahun di suatu wilayah, keadaan

suhu badan pasien RS tiap jam, omset penjualan barang di suatu toko.

Pada diagram garis, sumbu X (horizontal) biasanya menyatakan satuan waktu,

sedangkan sumbu Y (vertikal) biasanya menyatakan frekuensi.

Contoh 1

Hasil penjualan komputer di toko Planet Computer pada periode Januari – Juli 2019

ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Tabel 1. Hasil penjualan computer periode Januari-Juli 2019

Bulan

Jan

Feb

Mar

Apr

Mei

Juni

Juli

Jumlah (Unit)

10

15

30

35

25

45

60

Data tersebut dapat ditunjukkan dalam diagram garis (tunggal) seperti pada gambar di

bawah ini.

Grafik Garis Berganda (Multiple Line Chart)

Grafik yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa

hal atau kejadian sekaligus.

Contoh 2.

Hasil penjualan Barang A dan B di toko “Melati” periode Januari sampai Juni 2019

ditunjukkan pada Tabel di bawah ini.

Bulan

Jan

Feb

Mar

Apr

Mei

Juni

Jenis Barang A

25

40

45

10

50

45

Jenis Barang B

10

15

35

25

40

60

Data tersebut dapat ditunjukkan dalam diagram garis berganda seperti pada gambar di

bawah ini.

2.Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data dengan menggunakan sektor-

sektor (juring-juring) dalam suatu lingkaran. Diagram ini sangat baik untuk

menunjukkan perbandingan antara objek yang satu dengan objek lainnya terhadap

keseluruhan dalam suatu penyelidikan.

Contoh 3

Data berikut ini menunjukkan banyaknya peminat kegiatan ekstra kurikuler siswa

kelas XII di SMA Merdeka. Kegiatan Olah raga ada 90 orang, PMR ada 60 orang,

dan Paskibra ada 50 orang.

Sebelum membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besar persentase

tiap objek terhadap keseluruhan data dan besar sudut pusat sektor lingkaran yang

sesuai sebagaimana ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Diperoleh diagram lingkaran

3.Diagram Batang

Diagram batang adalah penyajian data dengan menggunakan persegi panjang-

persegi panjang dengan arah vertikal atau horizontal. Tinggi setiap persegi panjang

(batang) sesuai dengan jumlah data masing-masing objek.

Contoh 4

Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di Kota A menurut tingkat sekolah

pada tahun 2019

Tingkat Sekolah

Jumlah Siswa

SD

1.562

SMP

1.019

SMA

818

STM

432

Data tersebut ditunjukkan dengan diagram batang seperti pada gambar berikut.

Tiga jenis diagram di atas paling sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Selain penyajian data dengan diagram di atas, juga ada diagram lainnya seperti

diagram batang daun (Steam and Leaf Plot), diagram kotak garis, diagram pencar,

dan piktogram.

Diagram-diagram di atas umumnya digunakan untuk menyajikan data yang variasi

jenis datanya sedikit atau jumlah datanya sedikit. Bagaimana kalau variasi jenis

datanya sudah banyak atau data yang diolah dalam jumlah besar? Nah, untuk

keperluan penyajian data yang jumlahnya besar, maka pada bagian ini kalian akan

mempelajari

cara

menyajikan

dalam

tabel

distribusi

frekuensi

dan

memvisualisasikan ke dalam bentuk grafik histogram, poligon frekuensi, dan ogive.

4.Tabel Distribusi Frekuensi

Jika ukuran data cukup besar (n > 30), maka sebaiknya data disajikan dalam bentuk

tabel distribusi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi dibedakan menjadi dua, yaitu

tabel distribusi frekuensi tunggal dan tabel distribusi frekuensi berkelompok.

Contoh 5.

Berikut ini data berat badan 40 siswa SD Merdeka (dalam kg)

32 35 37 33 34 33 32 36 37 35

37 36 35 32 32 34 34 36 35 33

34 34 33 36 37 36 37 35 36 36

32 33 37 36 36 33 34 37 32 34

Tabel distribusi frekuensi tunggal dari data tersebut sebagai berikut.

Untuk data yang sangat besar, sebaiknya menggunakan tabel distribusi frekuensi

berkelompok. Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi berkelompok

adalah :

a.Tentukan jangkaun data ( J ), yaitu datum terbesar dikurangi datum terkecil.

J = X maks – X min

b.Tentukan banyak kelas interval ( k ) dengan aturan H.A. Sturges, dengan rumus:

k = 1 + 3,3 log n

k = bilangan bulat, dan n = banyaknya data.

c.Tentukan panjang kelas interval ( p ) dengan rumus : 𝑝 =

𝑗𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛 (𝐽)

𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 (𝑘)

d.Tentukan batas kelas interval (batas bawah dan batas atas). Batas bawah kelas

pertama dapat diambil sama dengan nilai datum terkecil atau nilai yang lebih

kecil dari datum terkecil.

e.Tentukan frekuensi dari setiap kelas interval dengan terlebih dahulu menentukan

turusnya.

Contoh 6.

Hasil nilai tes matematika 30 siswa kelas XI IPA SMA sebagai berikut :

60 61 30 62 43 55 67 68 69 39

41 63 67 50 76 57 65 49 54 88

40 71 70 51 56 54 78 54 72 69

Sajikan dalam tabel distribusi frekuensi.

Jawab:

• Dari kumpulan data di atas, datum terbesar adalah 88, dan yang terkecil adalah

30, sehingga diperoleh jangkauan data ( J ) = 88 – 30 = 58.

• Banyak kelas interval ( k ) = 1 + 3,3 log 30 = 1 + 3,3 (1,477)

= 1 + 4,874 = 5,874  6

• Panjang kelas interval ( p ) =

𝐽

𝑘 =

58

6 = 9,67  10

• Batas bawah kelas yang pertama, disini batas bawah kelas pertama adalah datum

terkecil (tetapi tidak harus, dapat juga digunakan bilangan lain).

Misalnya batas bawah kelas interval pertama digunakan datum terkecil = 30,

sehingga batas atas kelas interval pertama = (30 + p) – 1 = (30 + 10) – 1 = 39 (10

adalah panjang kelas).

Diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut.

Berikut ini beberapa istilah sehubungan dengan tabel distribusi frekuensi untuk

data berkelompok.

•Batas bawah kelas dan batas atas kelas

Untuk kelas 30-39, batas bawah adalah 30 dan batas atas adalah 39.

•Tepi bawah kelas dan tepi atas kelas

Untuk kelas 30-39, tepi bawah kelasnya adalah (30-0,5) = 29,5 dan tepi atas

kelasnya (39 + 0,5) = 39,5.

Tepi bawah diperoleh dari batas bawah kelas dikurangi setengah satuan

pengukuran terkecil yang digunakan, sedangkan tepi atas kelas diperoleh dari

batas atas kelas ditambah setengah satuan pengukuran terkecil.

•Panjang interval kelas

Untuk kelas 30-39, Panjang interval kelas adalah (tepi atas – tepi bawah) =

39,5 – 29,5 = 10.

•Titik tengah kelas

Titik tengah kelas interval (mid point) yaitu rataan antara batas bawah dan

batas atas interval. Untuk kelas 30-39, titik tengah kelas adalah

30+39

2
= 34,5.

5.Histogram dan Poligon Frekuensi

Setelah mengelompokkan data ke dalam beberapa kelas menjadi tabel distribusi

frekuensi, kita dapat menyajikan data berkelompok tersebut dalam bentuk grafik.

Penyajian data dalam bentuk grafik ini bertujuan untuk menyampaikan data kepada

pembaca dalam bentuk gambar. Bagi kebanyakan orang, melihat informasi yang

disajikan dari gambar lebih mudah daripada melihat dari dari kumpulan

bilanganbilangan pada tabel atau distribusi frekuensi.

Ada tiga macam grafik yang biasanya digunakan untuk menyajikan atau

mempresentasikan data berkelompok, yaitu:

Histogram

Histogram adalah penyajian distribusi frekuensi menggunakan diagram batang

tegak. Pada histogram, antara dua batang yang berdampingan tidak terdapat jarak,

berbeda dengan penyajian diagram batang terdahulu. Sumbu datar pada

histogram menyatakan kelas-kelas interval, sedangkan sumbu tegak menyatakan

frekuensi. Dalam hal ini, batas kelas interval merupakan tepi bawah dan tepi atas.

Tepi bawah = batas bawah – 0,5

Tepi atas = batas atas + 0,5 (  0,5 jika nilai datanya teliti hingga satuan)

Jika setiap titik tengah sisi atas persegi panjang yang berdampingan dihubungkan

dengan suatu garis, maka terbentuk grafik yang disebut poligon frekuensi.

Contoh 7

Gambar histogram dan polygon frekuensi dari tabel distribusi frekuensi dari

contoh 6 diatas.

Nilai Tes Matematika

Frekuensi

30 - 39

2

40 - 49

4

50 - 59

8

60 - 69

10

70 - 79

5

80 - 89

1

Jawab:

Nilai Tes Matematika

Tepi Kelas

Titik Tengah

Frekuensi

30 - 39

29,5 – 39,5

34,5

2

40 - 49

39,5 – 49,5

44,5

4

50 - 59

49,5 – 59,5

54,5

8

60 - 69

59,5 – 69,5

64,5

10

70 - 79

69,5 – 79,5

74,5

5

80 - 89

79,5 – 89,5

84,5

1

Histogram

6.Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif dan Ogive

Tabel distribusi frekuensi kumulatif diperoleh dari tabel distribusi frekuensi biasa,

dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi.

Tabel distribusi frekuensi kumulatif ada 2 macam, yaitu distribusi frekuensi

kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.

Untuk membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, digunakan tepi atas

kelas. Sedangkan untuk distribusi frekuensi kumulatif lebih dari, digunakan tepi

bawah kelas.

Contoh 8

Nilai Tes Matematika

Frekuensi

30 - 39

2

40 - 49

4

50 - 59

8

60 - 69

10

70 - 79

5

80 - 89

1

Jawab:

Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Nilai

Frekuensi kumulatif

≤ 39,5

2

≤ 49,5

2+4 = 6

≤ 59,5

6+8 = 14

≤ 69,5

14+10 = 24

≤ 79,5

24+5 = 29

≤ 89,5

29+1 = 30

Tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Nilai

Frekuensi kumulatif

≤ 29,5

28+2 = 30

≤ 39,5

24+4 = 28

≤ 49,5

16+8 = 24

≤ 59,5

6+10 = 16

≤ 69,5

1+5 = 6

≤ 79,5

1

Dari tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari, kita dapat

menggambarkan ogive kurang dari atau ogive positif dan ogive lebih dari atau ogive

negatif.

(Ogive adalah grafik distribusi frekuensi kumulatif, berupa kurva yang menghubungkan

titik-titik yang membentuk poligon frekuensi kumulatif kurang dari atau lebih dari)

Contoh 9.

Gambarkan ogive positif dan ogive negatif dari tabel distribusi frekuensi kumulatif

pada contoh 8 di atas.

Jawab:

Ogive positif, diperoleh dari tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari.

Ogive negatif, diperoleh dari tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.

Coba kalian perhatikan perbedaannya! Ogive positif kurvanya selalu naik, sedangkan

ogive negatif kurvanya selalu turun.

C.Rangkuman

•Penyajian data yang baik dan benar bermanfaat untuk memberi gambaran yang

sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi,

data lebih cepat dimengerti, memudahkan dalam membuat analisis data, dan

pengambilan keputusan atau kesimpulan lebih tepat, cepat, dan akurat.

•Tabel distribusi frekuensi adalah bentuk penyajian data dengan cara membagi data

menjadi beberapa kelompok dan disajikan dalam suatu tabel yang terdiri dari kelas

interval dan frekuensi.

•Histogram adalah penyajian distribusi frekuensi menggunakan diagram batang tegak,

dimana di antara dua batang yang berdampingan tidak terdapat jarak. Sumbu datar pada

histogram menyatakan kelas-kelas interval, sedangkan sumbu tegak menyatakan

frekuensi.

•Poligon frekuensi adalah grafik yang diperoleh dengan cara menghubungkan setiap titik

tengah sisi atas persegi panjang yang berdampingan pada histogram dengan suatu garis.

•Tabel distribusi frekuensi kumulatif diperoleh dari tabel distribusi frekuensi biasa

dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi

kumulatif ada 2 macam, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi

frekuensi kumulatif lebih dari.

•Ogive adalah grafik distribusi frekuensi kumulatif, berupa kurva yang menghubungkan

titik-titik yang membentuk poligon frekuensi kumulatif kurang dari (ogive positif) atau

lebih dari (ogive negatif)

KEGIATAN PEMBELAJARAN 2

UKURAN PEMUSATAN DATA

A.Tujuan Pembelajaran

Setelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan kalian dapat menentukan ukuran

pemusatan data berupa mean, modus dan median, menganalisis ukuran pemusatan data

yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram serta

menggunakannnya untuk menyelesaikan masalah.

B.Uraian Materi

Dalam pembicaraan sehari-hari kita sering mendengar teman kita atau orang lain

mengatakan kalimat-kalimat pernyataan seperti:

•“Rata-rata orang yang bekerja di perusahaan itu datang

jam 7 pagi”

•“Eh, Jangan salah, rata-rata orang yang datang di pestaku

waktu itu orang kaya lho!”.

•”rata-rata orang menonton sinetron pada jam 8 sesudah

makan malam”.

Pertanyaan kemudian adalah apakah memang benar yang dimaksud “rata-rata” pada

kalimat-kalimat itu menunjukkan arti “rata-rata” yang dimaksud dalam ilmu statistika?.

Bukankah “rata-rata” dalam kalimat itu bisa diganti dengan kata “kebanyakan”?. Kata

“kebanyakan” yang dalam ketiga pernyataan tersebut dikatakan “rata-rata” diartikan

sebagai “modus” yang dalam statistika merupakan data yang paling sering muncul.

Pernyataan-pernyataan di atas walaupun tidak menggunakan istilah yang benar dalam

statistika, namun sudah sangat familiar dituturkan oleh masyarakat. Hal ini menunjukkan

bahwa ukuran pemusatan data sangat banyak aplikasinya dalam kehidupan nyata kita

sehari-hari.

Pernahkah kalian menyaksikan secara langsung proses

penghitungan suara dalam suatu pesta demokrasi,

misalnya pemilihan kepala desa, pemilihan Bupati dan

Wakil Bupati, pemilihan Gubernur dan Wakil Gubernur,

pemilihan anggota DPR/DPD, atau pemilhan Presiden?

Panitia membuka surat suara, mengamati, dan mencatat

pilihan rakyat yang tertera pada surat suara.

Setiap surat suara menghasilkan satu data perhitungan. Nama calon yang paling sering

muncul menjadi pemenang kontestasi. Suara yang paling sering muncul dalam hal ini

adalah salah aplikasi modus dalam kehidupan nyata.

Ukuran pemusatan dari sekumpulan data merupakan suatu nilai yang diperoleh dari

sekumpulan data yang dapat dipergunakan untuk mewakili kumpulan data tersebut. Suatu

kumpulan data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi pada suatu nilai

pemusatan.

Pada kegiatan pembelajaran 2 ini, kalian akan mempelajari ukuran pemusatan data yaitu

rata-rata hitung (mean), modus, dan median dari data berkelompok yang disajikan dalam

tabel distribusi frekuensi dan histogram.

1.Rata-rata (Mean) Data Kelompok

Rata-rata (mean) data berkelompok dapat ditentukan dengan 3 cara, yaitu:

a.Cara rumus umum rata-rata hitung:

Keterangan:

𝑥𝑖 = nilai Tengah kelas ke-i

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i

b.Cara Simpangan Rataan (Rataan Sementara)

Keterangan:

𝑥𝑠̅ = rataan sementara (nilai tengah kelas dengan frekuensi terbesar)

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i

𝑑𝑖 = selisih setiap nilai tengah dengan rataan sememntara (𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑠̅ )

c.Cara Pengkodean (Cara coding):

Keterangan:

𝑥𝑠̅ = rataan sementara (nilai tengah kelas dengan frekuensi terbesar)

𝑥̅ = ∑𝑓𝑖. 𝑥𝑖

∑𝑓𝑖

= 𝑓1. 𝑥1 + 𝑓2. 𝑥2 + 𝑓3. 𝑥3 + ⋯ + 𝑓𝑛. 𝑥𝑛

𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + ⋯ + 𝑓𝑛

𝑥̅ = 𝑥𝑠̅ + ∑𝑓𝑖. 𝑑𝑖

∑𝑓𝑖

𝑥̅ = 𝑥𝑠̅ + 𝑝. ∑𝑓𝑖. 𝑢𝑖

∑𝑓𝑖

𝑓𝑖 = frekuensi kelas ke-i

𝑢𝑖 = kode, dengan ketentuan: 𝑢𝑖 = 0 untuk kelas 𝑥𝑠̅ kode bulat negatif berurutan

(−1, −2, −3, … ) untuk kelas-kelas sebelum 𝑥𝑠̅ dan kode bulat positif berurutan

(+1, +2, +3, … ) untuk kelas-kelas sesudah 𝑥𝑠̅ .

𝐂𝐨𝐧𝐭𝐨𝐡 𝟏

Tabel berikut memperhatikan berat badan 50 orang siswa SMA Merdeka.

Berat Badan (kg)

f

31-35

4

36-40

6

41-45

9

46-50

14

51-55

10

56-60

5

61-65

2

Tentukan rata-rata hitungnya dengan menggunakan:

a.Rumus umum mean

b.Rataan sementara

c.Metode pengkodean

Jawab:

a.Rataan dengan rumus umum mean

Nilai 𝑥𝑖 diperoleh dari nilai tengah setiap interval kelas. Misalnya pada baris

pertama, nilai 𝑥𝑖 =

1

2(31 + 35) =

1

2(66) = 33. Demikian pula nilai 𝑥𝑖 yang lain.

Nilai rata-rata hitung (mean) adalah:

𝑥̅ =

∑𝑓𝑖.𝑥𝑖

∑𝑓𝑖= 2.365 = 47,3

Jadi, rata-rata (mean) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,3 kg.

Berat Badan (kg)

𝑓𝑖

𝑥𝑖

𝑓𝑖. 𝑥𝑖

31-35

4

33

132

36-40

6

38

228

41-45

9

43

387

46-50

14

48

672

51-55

10

53

530

56-60

5

58

290

61-65

2

63

126

Jumlah

50

-

2.365

b.Rataan dengan menggunakan rataan sementara

Keterangan:

•Kolom (3), pilih rataan sementara 𝑥𝑠̅ , yaitu nilai 𝑥𝑖 dengan frekuensi terbesar,

sehingga diperoleh 𝑥𝑠̅ = 48

•Kolom (4), isikan dengan selisih dari kolom (3) dengan 48 atau 𝑥𝑖– 48.

•Kolom (5), isikan dengan hasil kali kolom (2) dengan kolom (4).

Nilai rata-rata hitung (mean) adalah:

𝑥̅ = 𝑥𝑠̅ +

∑𝑓𝑖.𝑑𝑖

∑𝑓𝑖

= 48 +

−35

50= 48 – 0,7 = 47,3

Jadi, rata-rata (mean) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,3 kg.

c.Rataan dengan menggunakan Metode pengkodean

Keterangan:

•Kolom (3), pilih rataan sementara 𝑥𝑠̅ = 𝟒𝟖 (kelas dengan frekuensi terbesar).

•Kolom (4), isi kode 0 pada kelas 𝑥𝑠̅ , bilangan negatif berurutan (−1, −2, −3)

pada baris sebelumnya dan bilangan positif berurutan (1, 2, 3) pada baris

setelahnya.

•Panjang kelas, p = 5.

Berat Badan (kg)

𝑓𝑖

𝑥𝑖

𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑠̅𝑓𝑖. 𝑥𝑖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

31-35

4

33

33 − 48 = −15−60

36-40

6

38

38 − 48 = −10−60

41-45

9

43

43 − 48 = −5−45

46-50

14

48

48 − 48 = 0

0

51-55

10

53

53 − 48 = 5

50

56-60

5

58

58 − 48 = 1050

61-65

2

63

63 − 48 = 1530

Jumlah

50

-

-

−35

Berat Badan (kg)

𝑓𝑖

𝑥𝑖

𝑢𝑖

𝑓𝑖. 𝑥𝑖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

31-35

4

33

−3

−12

36-40

6

38

−2

−12

41-45

9

43

−1

−9

46-50

14

48

0

0

51-55

10

53

1

10

56-60

5

58

2

10

Nilai rata-rata hitung (mean) adalah:

𝑥̅ = 𝑥𝑠̅ + 𝑝.

∑𝑓𝑖.𝑑𝑖

∑𝑓𝑖

= 48 + 5.

−7

50= 48+( – 0,7 )= 47,3

Jadi, rata-rata (mean) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,3 kg.

2.Modus Data Berkelompok

Modus adalah ukuran pemusatan data yang digunakan untuk menyatakan kejadian

yang paling banyak terjadi atau paling banyak muncul. Modus data berkelompok

ditentukan dengan rumus:

Contoh 2

Tentukan modus data berat badan 50 orang siswa SMA Merdeka pada tabel berikut

Berat Badan

𝑓𝑖

31 − 35

4

36 − 40

6

41 − 45

9

46 − 50

14

51 − 55

10

56 − 60

5

61 − 65

2

Jawab:

Letak Modus pada kelas interval: 46 – 50

Tepi bawah kelas modus L = 46 – 0,5 = 45,5

Panjang kelas interval P = 5

𝑑1= 14 – 9 = 5

𝑑2= 14 – 10 = 4

61-65

2

63

3

6

Jumlah

50

-

-

−7

sehingga diperoleh modus adalah

𝑀𝑜 = 𝐿 + 𝑝(

𝑑1

𝑑1+𝑑2)= 45,5 + 5. (

5

5+4)

= 45,5 + (

25

9)= 45,5 + 2,78 = 48,28

Jadi, modus berat badan siswa SMA Merdeka adalah 48,28 kg.

3.Median Data Kelompok

Median adalah ukuran yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Median data

berkelompok ditentukan dengan rumus:

Contoh 3

Tentukan median data berat badan 50 orang siswa SMA Merdeka pada tabel berikut.

Berat Badan

𝑓𝑖

F

31 − 35

4

4

36 − 40

6

10

41 − 45

9

19

46 − 50

14

33

51 − 55

10

43

56 − 60

5

48

61 − 65

2

50

Jumlah

50

-

Jawab:

Letak Median pada datum ke

𝑛

2=

50

2= 25

jadi, letak median pada interval kelas 46 – 50 (dilihat dari frekuensi kumulatif = 33,

berarti terletak data ke-20 sampai ke-33)

L = 46 – 0,5 = 45,5 (tepi bawah kelas median) p = 5 (panjang kelas)

F = 19 (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)

𝑓𝑚= 14 (frekuensi kelas median)

Sehingga diperoleh median adalah

𝑀𝑒= 𝐿 + 𝑝

𝑛
2−𝐹

𝑓𝑚= 45,5 + 5. (

25−19

14)

= 45,5 + 5. (

6

14) = 45,5 + (

30

14)

= 45,5 + 2,14 = 47,64

Jadi, median berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,63 kg

Contoh 4

Data hasil ulangan matematika 40 siswa kelas XII SMA Merdeka disajikan pada

histogram berikut. Hitunglah:

a.Mean

b.Modus

c.Median

a.Mean

Untuk menentukan nilai mean, kita perlu membuat tabel distribusi frekuensi dari

histogram di atas, kemudian kita akan menggunakan metode pengkodean untuk

menghitung nilai mean sebagai berikut.

Nilai tengah 𝑥𝑖dapat ditentukan dari titik tengah setiap tepi kelas. Rataan

sementara 𝑥𝑠̅ = 𝟕𝟖 diambil dari kelas dengan frekuensi terbesar.

Panjang kelas p diperoleh dari selisih dua tepi kelas, misalnya diambil kelas yang

pertama, maka p = 65,5 – 60,5 = 5

Sehingga, diperoleh rata-rata hitung (mean) adalah: 𝑥̅ = 𝑥𝑠̅ + 𝑝.

∑𝑓𝑖.𝑢𝑖

∑𝑓𝑖

= 78 + 5.(

−16

40) = 78 + 5(-0,4) = 78 - 2 = 𝟕𝟔

Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika 40 siswa tersebut adalah 76.

b.Modus

Di atas kita telah membuat tabel distribusi frekuensi, namun untuk contoh ini kita

akan menentukan modus dari data pada histogram agar kalian mengetahui cara

menentukan modus langsung dari histogram.

diperoleh tepi bawah kelas modus L = 75,5

•𝑑1= 12 – 10 = 2 dan 𝑑2 = 12 – 8 = 4

•Panjang kelas interval adalah selisih dari dua tepi kelas, p = 65,5 – 60,5 = 5.

sehingga diperoleh modus adalah 𝑀𝑜 = 𝐿 + 𝑝(

𝑑1

𝑑1+𝑑2) = 75,5 + 5(

2

2+4)

= 75,5 +

10

6= 75,5 + 1,67 = 77,17

Jadi, modus nilai ulangan matematika 40 siswa tersebut adalah 77,17.

c.Median

Median juga dapat secara langsung dihitung dari data histogram seperti berikut ini.

Pertama, kita harus menentukan frekuensi kumulatif untuk setiap kelas interval,

yaitu dengan menjumlahkan frekuensi kelas dengan frekuensi kelas-kelas

sebelumnya, seperti ditunjukkan di bagian atas frekuensi setiap kelas pada

histogram.

Letak Median pada datum ke

𝑛

2 =

40

2= 20

jadi, letak median pada interval kelas dengan tepi 75,5 – 80,5 (dilihat dari frekuensi

kumulatif = 30, berarti terletak data ke-19 sampai ke-30)

L = 75,5 (tepi bawah kelas median)

p = 5

F = 18 (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)

𝑓𝑚= 12 (frekuensi kelas median)

Sehingga diperoleh median adalah

𝑀𝑒= 𝐿 + 𝑝

𝑛
2−𝐹

𝑓𝑚= 75,5 + 5. (

20−18

12)

= 75,5 + 5(

2

12) = 75,5 +

10

12

= 75,5 + 0,83 = 76,33

Jadi, median nilai ulangan matematika 40 siswa tersebut adalah 76,33.

4.Kuartil dan Desil untuk Data Kelompok

Selain ukuran pemusatan data, juga ada ukuran letak data yang didasarkan pada letak

ukuran tersebut dalam suatu distribusi data. Ukuran letak data membagi sekumpulan

data yang berurutan menjadi beberapa bagian yang sama, diantaranya kuartil, desil,

dan persentil. Pada bagian ini kita hanya menambahkan pembahasan tentang kuartil

dan desil.

Kuartil

Jika kumpulan data terurut dibagi menjadi 4 bagian yang sama, maka didapat 3

pembagian dan tiap pembagian itu dinamakan kuartil. Gambarannya sebagai berikut.

Kuartil tengah (Q2) sama saja dengan Median yang telah dibahas di atas. Kuartil data

berkelompok ditentukan dengan rumus:

dimana 𝑄𝑖adalah pada datum ke

𝑖.𝑛

4, untuk i = 1, 2, 3.

Keterangan :

𝐿𝑖= Tepi bawah kelas kuartil ke - i

p = panjang kelas interval

𝐹𝑖= frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas kuartil ke - i

𝑓𝑖= frekuensi kelas kuartil ke - i

n = banyak datum

Contoh 5

Tentukan 𝑄1dan 𝑄3data berat badan 50 orang siswa SMA Merdeka pada tabel berikut.

Langkah awal kita tambahkan kolom Frekuensi Kumulatif (F).

Letak 𝑄1pada datum ke

1

4𝑛 =

1

450 = 12,5

Jadi, letak 𝑄1pada interval kelas : 41 – 45 (Frekuensi kumulatif 19, berarti letak data

ke- 11 sampai ke-19)

𝐿1= 41 – 0,5 = 40,5

p = 5,

F = 10 dan f = 9

Sehingga diperoleh Kuartil bawah (𝑄1) adalah

𝑄1 =𝑀𝑒= 𝐿1 + 𝑝(

1
4𝑛−𝐹

𝑓) = 40,5 + 5(

1
4(50)−10

9
)

= 40,5 + 5(

12,5 −10

9
) = 40,5 + 5 (

2,5

9) = 40,5 +

12,5

9

= 40,5 + 1,39 = 41,89

Jadi, nilai kuartil bawah (Q1) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 41,89 kg.

Letak 𝑄3pada datum ke

3

4𝑛 =

3

450 = 37,5

Jadi, letak 3pada interval kelas : 51 – 55 (Frekuensi kumulatif 43, berarti letak data ke-

34 sampai ke-43)

𝐿3= 51 – 0,5 = 50,5

p = 5,

F = 33 dan f = 10

Sehingga diperoleh Kuartil bawah (𝑄1) adalah

𝑄3 =𝑀𝑒= 𝐿3 + 𝑝(

3
4𝑛−𝐹

𝑓) = 50,5 + 5(

3
4(50)−33

10
)

= 50,5 + 5(

37,5 −33

10
) = 50,5 + 5 (

4,5

10) = 40,5 +

22,5

10

= 50,5 + 2,25 = 52,75

Jadi, nilai kuartil atas (Q3) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 52,75 kg

Desil

Jika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat 9 pembagian

dan tiap pembagian itu dinamakan desil. Desil data berkelompok ditentukan dengan

rumus :

dimana 𝐷𝑖adalah pada datum ke

𝑖.𝑛

10

Keterangan :

𝐿𝑖= Tepi bawah kelas Desil ke - i

p = panjang kelas interval

𝐹𝑖= frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas Desil ke - i

𝑓𝑖= frekuensi kelas Desil ke - i

n = banyak datum

i = 1,2,3,…9

Contoh 6

TentukanD3 dan D8 data berat badan 50 orang siswa SMA Merdeka pada tabel berikut.

Langkah awal sama halnya pada kuartil, kita tambahkan kolom Frekuensi Kumulatif

(F).

Letak 𝐷3pada datum ke

𝑖

10𝑛 =

3

10(50) = 15

Jadi, letak 𝐷3pada interval kelas : 41 – 45 (Frekuensi kumulatif 19, berarti letak data

ke- 11 sampai ke-19)

𝐿3= 41 – 0,5 = 40,5

p = 5,

F = 10 dan f = 9

Sehingga diperoleh Kuartil bawah (𝐷3) adalah

𝐷3 = 𝐿3 + 𝑝(

3
10𝑛−𝐹

𝑓
) = 40,5 + 5(

3
10(50)−10

9
)

= 40,5 + 5(

15 −10

9
) = 40,5 + (

25

9)

= 40,5 + 2,78 = 43,28

Jadi, nilai Desil ketiga (𝐷3) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 43,28 kg.

Letak 𝐷8pada datum ke

𝑖

10𝑛 =

8

10(50) = 40

Jadi, letak 𝐷8pada interval kelas : 51 – 55 (Frekuensi kumulatif 43, berarti letak data

ke- 34 sampai ke-43)

𝐿8= 51 – 0,5 = 50,5

p = 5,

F = 33 dan f = 10

Sehingga diperoleh Desil ke-8(𝐷8) adalah

𝐷8 = 𝐿8 + 𝑝(

8
10𝑛−𝐹

𝑓
) = 50,5 + 5(

8
10(50)−33

10
)

= 50,5 + 5(

40 −33

10) = 50,5 + (

35

9)

= 50,5 + 3,5 = 54

Jadi, nilai desil kedelapan (𝐷8) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 54 kg.

C.Rangkuman

•Ukuran pemusatan dari sekumpulan data merupakan suatu nilai yang diperoleh dari

sekumpulan data yang dapat dipergunakan untuk mewakili kumpulan data tersebut,

meliputi mean, modus, dan median.

•Mean atau rata-rata hitung adalah jumlah semua data dibagi banyaknya data.

Mean data berkelompok dapat dihitung dengan 3 cara, yaitu:

Rumus umum mean:

𝑥̅ = ∑𝑓𝑖. 𝑥𝑖

∑𝑓𝑖

= 𝑓1. 𝑥1 + 𝑓2. 𝑥2 + 𝑓3. 𝑥3 + ⋯ + 𝑓𝑛. 𝑥𝑛

𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + ⋯ + 𝑓𝑛

Cara Simpangan Rataan (Rataan Sementara):

𝑥̅ = 𝑥𝑠̅ + ∑𝑓𝑖. 𝑑𝑖

∑𝑓𝑖

Cara Pengkodean:

𝑥̅ = 𝑥𝑠̅ + 𝑝. ∑𝑓𝑖. 𝑢𝑖

∑𝑓𝑖

•Modus adalah ukuran pemusatan data yang digunakan untuk menyatakan kejadian

yang paling banyak terjadi atau paling banyak muncul. Modus data berkelompok

ditentukan dengan rumus:

𝑀𝑜 = 𝐿 + 𝑝(

𝑑1

𝑑1+𝑑2)

•Median adalah ukuran yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Median data

berkelompok ditentukan dengan rumus:

𝑀𝑒= 𝐿 + 𝑝

𝑛
2−𝐹

𝑓𝑚

•Kuartil adalah ukuran yang membagi sekumpulan data terurut dibagi menjadi 4

bagian yang sama. Kuartil data berkelompok ditentukan dengan rumus:

𝑄𝑖 =𝑀𝑒= 𝐿𝑖 + 𝑝(

𝑖
4𝑛−𝐹𝑖

𝑓𝑖)

•Desil adalah ukuran yang membagi sekumpulan data terurut dibagi menjadi 10

bagian yang sama. Desil data berkelompok ditentukan dengan rumus:

𝐷𝑖 = 𝐿𝑖 + 𝑝(

𝑖
10𝑛−𝐹𝑖

𝑓𝑖
)