Teori Bilangan OSN Matematika

Gerakan Merdeka

Olimpiade Matematika

Analisis

Bilangan Bulat

MATERI

Hidangan Pembuka

5

4

3

2

1

Sifat Keterbagian

Perbandingan

Bilangan Berbasis 10

Latihan Soal

Kita hanya perlu mempelajari

bagaimana mempercayai diri kita

sendiri sehingga kreativitas kita bisa

mengalir keluar.

Ed Catmull

(Presiden Walt Disney Animation Studios)
PREFACE

1

Hidangan Pembuka

Diskusi

Ilustrasi Gambar:

Apakah

benda

dengan

berat

5kg

dapat

diukur dengan neraca tersebut?

Jawabannya bisa, dengan cara sbb:

Berat Benda

(kg)

Beban di Kiri

(kg)

Beban di

Kanan (kg)

1

2

3

4

5

6

7

Berat Benda

(kg)

Beban di Kiri

(kg)

Beban di

Kanan (kg)

8

9

10

11

12

13

14

1

-

3

1

3

-

3 dan 1

-

9

3

9

3 dan 1

9 dan 1

3

9 dan 1

-

9 dan 1

1

9 ,1, dan 3

-

9 dan 3

1

9 dan 3

-

Tidak Bisa

Tidak Bisa

9

-

S i f a t

Ke t e r b a g i a n

Ciri-ciri Habis Dibagi

工作详情

Ciri

-

Ciri

Habis

Dibagi

Diberikan 𝐴 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1 … 𝑎2𝑎1 merupakan bilangan bulat positif
berdigit 𝑛. 𝐴 habis dibagi 𝑚 dengan 𝑚 ≥ 2 dengan kriteria
sebagai berikut:

Habis Dibagi 𝒎

Kriteria Habis Dibagi 2, 5, dan 10

m = 2

Angka (digit) terakhirnya nol atau genap

m = 5

Angka (digit) terakhirnya nol atau 5

m = 10

Angka (digit) terakhirnya nol

Habis Dibagi 𝒎

Kriteria Habis Dibagi 4 dan 8

m = 4

Dua angka (digit) terakhirnya habis dibagi 4

m = 8

Tiga angka (digit) terakhirnya habis dibagi 8

Habis Dibagi 𝒎

Kriteria Habis Dibagi 3, 9, dan 11

m = 3

Jumlah semua angkanya habis dibagi 3

m = 9

Jumlah semua angkanya habis dibagi 9

m = 11 Selisih angka-angka pada tempat ganjil dan
genap merupakan kelipatan 11

Habis Dibagi 𝒎

Kriteria Habis Dibagi 6 dan 12

m = 6

Habis dibagi 2 dan 3

m = 12

Habis dibagi 3 dan 4

Contoh: Diberikan 𝐴 = 827.156

• Apakah 𝐴 habis dibagi 2?

• Apakah 𝐴 habis dibagi 4?

• Apakah 𝐴 habis dibagi 9?

• Apakah 𝐴 habis dibagi 11?

Multiple Choice

bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, baik negatif, nol. maupun positif...

• Bilangan Bulat

• Bilangan Real

• Bilangan Cacah

• Bilangan Asli

Multiple Choice

Jika 3 membagi 6 dan 3 membagi 9 maka (6+9) terbagi oleh 3

• Benar

• Salah

Multiple Choice

Bilangan berikut yang habis dibagi 3 adalah ....

• 145

• 781

• 3441

• 1222

• 8888

Multiple Choice

Salah satu nilai A agar bilangan 4-digit $$\overline{1A81}$$ habis dibagi 3 adalah .... 

• 1

• 2

• 4

• 6

• 9

Multiple Choice

Nilai B agar bilangan 6-digit $$\overline{443.31B}$$ habis dibagi 9 adalah .... 

• 1

• 3

• 4

• 8

• 9

Multiple Choice

Suatu bilangan habis dibagi 12 jika ....

• bilangan itu habis dibagi 3 dan 4

• bilangan itu habis dibagi 3

• bilangan itu habis dibagi 4

• bilangan itu habis dibagi 24

• bilangan itu genap

Multiple Choice

Pilihlah bilangan yang memenuhi kriteria berikut.

1. Terdiri dari 8 digit

2. Habis dibagi 5

3. Digit pertama genap

• 84.712.690

• 224.100.995

• 77.777.775

• 000.000.000

• 68.122.882

Multiple Choice

Mana bilangan yang habis dibagi 4?

• 214

• 234

• 334

• 344

Multiple Choice

Apakah 330284032328320129212938865 habis dibagi 8?

• Ya

• Tidak

Multiple Choice

Mana yang habis dibagi 7?

• 678

• 683

• 693

• 723

Multiple Choice

Jika 345b4 habis dibagi oleh 8, nilai b yang mungkin adalah....

• 3

• 4

• 5

• 6

Misalkan n adalah bilangan genap 7 digit yang digit-

digitnya berbeda dan n habis dibagi oleh 9. Maka nilai

terkecil yang mungkin dari n adalah …

工作详情工作详情

Contoh

Soal

Jawab

Pada soal dikatakan bahwa n adalah bilangan genap 7

digit yang digit-digitnya berbeda.

Kita akan mengambil digit-digit tersebut dari bilangan

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Percobaan Pertama

Karena n yang diminta adalah nilai n terkecil, maka

kita ambil 7 bilangan paling kecil untuk kita susun n

bilangan 7 digit.

Diperoleh bilangan n = 1023456(TM, karena n tidak habis

dibagi 9)

Percobaan Kedua

Kita ambil 6 digit terkecil yang telah disusun dan

mengganti digit satuan (digit akhirnya) dari n pada

percobaan pertama menjadi suatu variabel P.

Diperoleh bilangan n = 102345P

Agar n habis dibagi 9, maka 𝑃 = 3.

Sehingga 𝑛 = 1023453 (TM, karena n bukan bilangan genap

dan terdapat digit yang sama)

Percobaan Ketiga

Kita ambil 5 digit terkecil yang telah disusun dan

mengganti dua digit terakhir dari n pada percobaan

pertama menjadi variabel Q dan P.

Diperoleh bilangan 𝑛 = 10234𝑄𝑃

Jadi,

nilai

terkecil

n

yang

mungkin

adalah 1023498.

Kepercayaan diri dapat dibangun salah

satunya dengan cara mempercayai bahwa

kecerdasan dapat tumbuh dengan latihan

dan usaha.

Carol Dweck

(Pakar Psikolog Pendidikan)

BREAK

K o n s e p d a n Tr i v i a

Pe r b a n d i n g a n

P e r b a n d i n g a n

Contoh

Soal

Upin dan Ipin akan mengecat suatu pagar. Jika pagar

tersebut

dicat

oleh

Upin

saja,

maka

memerlukan

waktu 9 jam untuk menyelesaikannya. Jika Upin dan

Ipin bekerja sama untuk mengecatnya, pagar tersebut

dapat selesai dalam waktu 6 jam. Dalam mengecat

pagar

tersebut,

mereka

berencana

mengecatnya

secara bergantian, mula-mula Upin akan mengecat

terlebih dahulu selama 5 jam dan sisanya oleh Ipin.

Berapa lama waktu yang diperlukan oleh Ipin untuk

menyelesaikan pengecatan pagar tersebut?

Jawab

Untuk

menjawab

soal

tersebut,

kita

cari

KPKnya

terlebih

dahulu

untuk

menyetarakan

waktu

pengecatan oleh keduanya. Diperoleh 𝐾𝑃𝐾(6,9) = 18

Misalkan

pagar

yang

dicat

oleh

Upin

dan

Ipin

berukuran 6 × 3 = 18 satuan luas.

9 jam Upin mengecat

pagar

1 jam Upin mengecat

pagar

Luas

pagar

yang

akan dicat oleh Upin

dan Ipin

Penyelesaian

1 jam Upin dan Ipin

bersama

mengecat

pagar

6 jam Upin dan Ipin

bersama

mengecat

pagar

1 jam Upin mengecat

1 jam Ipin mengecat

Sisa pagar yang belum

dicat

akan

dilanjutkan

oleh Ipin

Jadi, waktu yang diperlukan Ipin untuk melanjutkan

pengecetan pagar yang tersisa adalah 8 jam.

Upin mengecat pagar terlebih dahulu selama 5 jam

Trivia

Perbandingan

Jika A dan B memiliki perbandingan

𝐴
𝐵=

𝑛
𝑚,

maka nilai A dan B dapat dimisalkan

dengan:

𝐴 = 𝑛 ∙ 𝑥

dan

𝐵 = 𝑚 ∙ 𝑥

Dengan 𝑥 adalah peubah tetapan besaran

perbandingan, 𝑥 merupakan bilangan real

atau bilangan bulat positif.

Contoh

Soal

Jumlah kelereng Angga, Bayu, dan Candra adalah 80.

Jika perbandingan banyaknya kelereng Angga dan

Bayu adalah 6: 7 , maka banyaknya kelereng paling

sedikit yang mungkin dimiliki oleh Candra adalah …

Jawab

Kita misalkan banyakanya kelereng Angga, Bayu, dan

Candra berturut-turut adalah A, B dan C.

Pada soal, dikatakan bahwa

𝐴
𝐵=

6
7, maka dapat kita

misalkan nilai 𝐴 = 6𝑥 dan 𝐵 = 7𝑥, dengan 𝑥 ∈ ℤ.

Diketahui juga, jumlah kelereng mereka adalah 80.

Sehingga dapat dibentuk persamaan:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 80

Penyelesaian

13𝑥 + 𝐶

= 80

Agar nilai 𝐶 minimum, maka kita harus membuat

13𝑥 bernilai maksimum.

𝐶

= 80 − 13𝑥

Dengan men-substitusi permisalan, diperoleh:

𝐴 + 𝐵 + 𝐶

= 80

6𝑥 + 7𝑥 + 𝐶

= 80

Pilih 𝑥 = 6 agar 13𝑥 bernilai maksimum.

Akibatnya,

𝐶 = 80 − 13𝑥

𝐶 = 80 − 13(6)

𝐶 = 80 − 78 = 2

Jadi, banyaknya kelereng paling sedikit

yang mungkin dimiliki oleh Candra adalah

2 kelereng.

Bilangan dan Trivianya

B i l a n g a n

B e r b a s i s 1 0

Bilangan

Dalam sejarah bilangan, mula-mula

diperkenalkan bilangan bulat positif,

nol, dan bilangan bulat negatif.

Bilangan

bulat

positif

dan

nol

dikenal sebagai angka (digit).

Gabungan

beberapa

angka

yang

lebih dari satu dan tidak dimulai

dengan nol dikenal sebagai bilangan.

Trivia

Bilangan

Bilangan yang sering dibahas di sekolah adalah bilangan

berbasis 10 yang memuat angka satuan, puluhan, ratusan,

ribuan, dst.

Misalkan 𝐴𝐵𝐶 merupakan bilangan tiga

digit (ratusan). Maka 𝐴𝐵𝐶 dapat ditulis

menjadi:

100𝐴 + 10𝐵 + 𝐶

dengan 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℤ

Contoh

Soal

Jika 𝑃, 𝑄,
dan 𝑅
adalah angka-angka dari sebuah

bilangan

dan
100𝑃 + 10𝑄 + 𝑅

𝑃 + 𝑄 + 𝑅 = 2008 ,

maka nilai 𝑄 yang mungkin adalah … (OSK 2008)

Jawab

Diberikan bahwa 100𝑃 + 10𝑄 + 𝑅

𝑃 + 𝑄 + 𝑅 = 2008

Misalkan

𝑎 = 100𝑃 + 10𝑄 + 𝑅

𝑏 = 𝑃 + 𝑄 + 𝑅

Perhatikan bahwa

𝑎 merupakan bilangan tiga digit (ratusan)

Penyelesaian

Faktorisasi prima dari 2008

2008 = 2 × 2 × 2 × 251

2008 = 8 × 251

𝑎 = 100𝑃 + 10𝑄 + 𝑅

= 200 + 50 + 1

𝑏 = 𝑃 + 𝑄 + 𝑅

= 2 + 5 + 1

Jadi, nilai 𝑄 yang mungkin adalah 5.

Latihan

Soal

Pemantapan

Latihan

Soal

1. Diberikan bilangan asli 6 digit 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓
dengan

semua digit-digitnya berbeda. Jika 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 × 𝑑 +

𝑒 × 𝑓 = 19 , maka nilai terbesar bilangan 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓

yang mungkin adalah …

2. Dari sembarang bilangan 2-angka dapat dibentuk

bilangan lain dengan cara mengalikan bilangan-

bilangan

pembentuknya.

Proses

tersebut

dapat

dilakukan

berulang

sampai

hasilnya

berupa

bilangan 1-angka. Sebagai contoh perhatikan tabel

berikut

Bilangan 87 berhenti di angka 0, bilangan 26

berhenti di angka 2, dan bilangan 12 berhenti di

angka 2. Banyaknya semua bilangan 2-angka yang

berhenti di angka 8 adalah … bilangan.

3. Suatu pekerjaan direncanakan selesai dalam waktu

15 hari jika dikerjakan oleh 9 pekerja. Karena satu

dan lain hal, pekerjaan tersebut dihentikan selama

4 hari setelah berjalan 5 hari. Berapakah jumlah

pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan

tersebut dapat selesai tepat waktu?

4. Diberikan 5 angka 1, 2, 3, 4, dan 5 untuk menulis

5 digit 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 tanpa pengulangan. Jika 𝑀 = 𝐴𝐵𝐶 +

𝐵𝐶𝐷 + 𝐶𝐷𝐸. Temukanlah

jumlah

maksimal

yang

mungkin dari 𝑀.

Pembahasan

1. Diberikan bilangan asli 6 digit 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓
dengan

semua digit-digitnya berbeda. Jika 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 × 𝑑 +

𝑒 × 𝑓 = 19 , maka nilai terbesar bilangan 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓

yang mungkin adalah …

Pembahasan

2. Dari sembarang bilangan 2-angka dapat dibentuk

bilangan lain dengan cara mengalikan bilangan-

bilangan

pembentuknya.

Proses

tersebut

dapat

dilakukan

berulang

sampai

hasilnya

berupa

bilangan 1-angka. Sebagai contoh perhatikan tabel

berikut

Bilangan 87 berhenti di angka 0, bilangan 26

berhenti di angka 2, dan bilangan 12 berhenti di

angka 2. Banyaknya semua bilangan 2-angka yang

berhenti di angka 8 adalah … bilangan.

Pembahasan

3. Suatu pekerjaan direncanakan selesai dalam waktu

15 hari jika dikerjakan oleh 9 pekerja. Karena satu

dan lain hal, pekerjaan tersebut dihentikan selama

4 hari setelah berjalan 5 hari. Berapakah jumlah

pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan

tersebut dapat selesai tepat waktu?

Pembahasan

4. Diberikan 5 angka 1, 2, 3, 4, dan 5 untuk menulis

5 digit 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 tanpa pengulangan. Jika 𝑀 = 𝐴𝐵𝐶 +

𝐵𝐶𝐷 + 𝐶𝐷𝐸. Temukanlah

jumlah

maksimal

yang

mungkin dari 𝑀.

Latihan

Soal

(

Lagi

)
1. Diketahui bilangan 5 angka, yaitu 12𝑎7𝑏 yang habis

dibagi 99. Temukan nilai terkecil dari (𝑎 + 𝑏).

2. Sebuah

bilangan

disebut

bilangan

antik,

jika

mempunyai sifat sebagai bilangan yang merupakan

hasil penjumlahan dari jumlah angkanya ditambah

dengan

hasil

kali

angkanya.

Seperti

misalnya

29 = 2 + 9 + (2 × 9) .

Temukan

semua

bilangan

antik yang terdiri dari dua angka.

3. Enam pipa besar dapat mengeringkan kolam dalam

waktu 5 jam. Sedangkan delapan pipa kecil dapat

mengeringkan kolam yang sama dalam waktu 10

jam.

Berapakah

waktu

yang

diperlukan

untuk

mengeringkan kolam tersebut jika menggunakan 3

pipa besar dan 5 pipa kecil?

4. Temukan semua bilangan asli yang terdiri atas dua

angka yang mempunyai sifat: jika angka terakhir

dihapus

maka

bilangan

yang

diperoleh

habis

membagi bilangan semula.

Latihan

Soal

(

Lagi

)

5. Sebuah bilangan 123𝑎456𝑎789𝑎 habis dibagi 9 tetapi

tidak habis dibagi 5. temukan semua angka 𝑎 yang

mungkin terjadi.

6. Bilangan tiga digit 2𝐴3 jika ditambah dengan 326

akan menghasilkan bilangan 3 digit juga, yaitu 5𝐵9.

Jika bilangan 5𝐵9 habis dibagi 9, maka nilai dari

𝐴 + 𝐵 adalah …

7. Buktikan bahwa jika 𝐴𝐵𝐶
merupakan bilangan 3-

angka yang habis dibagi 37, maka 𝐵𝐶𝐴 juga habis

dibagi oleh 37.

8. Diberikan bilangan 2-digit 𝑥 tertentu yang memiliki

sifat: jika kita meletakkan angka 2 di depannya dan

angka

9

setelahnya,

kita

mendapatkan

bilangan

4-digit yang sama dengan 59 × 𝑥. Berapakah nilai 𝑥

yang mungkin?

Penyusun Materi:

M. Dias Syahrian dan Dandi

Ramadhan

Komunitas
Pendidik Matematika