Halmazok

Halmazok

• alapfogalom

• bármiről el kell tudnunk dönteni, hogy a halmazhoz tartozik vagy sem (a halmaznak elemei vagy nem elemei)

Például halmazt alkotnak:
- a 4-gyel osztható természetes számok
- a Naprendszer bolygói

Nem alkotnak halmazt:
- a szép őszi napok
- a nagy számok

​

A halmaz fogalma

Jelölése: nyomtatott nagybetűkkel: A, B, C stb.

Megadása:

• elemei felsorolásával: A={1, 3, 5, 7, 9} - az elemeket kapcsos zárójelbe helyezzük

• Venn-diagrammal:

• egy rá jellemző tulajdonság megadásával:

  A={a páratlan számjegyek halmaza}

​

A halmaz jelölése, megadása

​


"eleme" és "nem eleme" elnevezéseket használjuk
pl. 1 ∈ A
2 ∉ A

Elem és halmaz közötti jelölések

Számosság: az elemek száma
pl. A = {1; 3; 5; 7; 9}.
Az A halmaz számossága: |A|=5.

Üres halmaz: nincsenek elemei (0 elemszámú halmaz)
Jelölése: ∅ vagy {}
Pl. a negatív természetes számok halmaza

​Véges halmaz: elemeinek száma véges
Pl. a 4 természetes osztóinak halmaza

Végtelen halmaz: elemeinek száma végtelen
Pl. a 4 természetes többszöröseinek halmaza, a körvonal pontjainak halmaza

A halmaz számossága

• Egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme.

  Pl. A={a Deák Diák kilencedikes tanulói}

  B = {a Deák Diák tanulói}

• Minden halmaz részhalmaza önmagának.

• Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

Részhalmazok

• az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A ⊂ B

• a B halmaz tartalmazza az A halmazt: B ⊃ A

• Halmazok egyenlősége: két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik, pl: A = B.

• Ha A = B, akkor az A halmaz a B halmaznak nem valódi részhalmaza: A ⊆ B vagy B ⊇ A

Két halmaz közötti jelölések

Figyeljünk a jelölésekre!

1 ∈ A

de

{ 1 } ⊂ A

Soroljuk fel az A = {1; 3; 5} halmaz részhalmazait!

• 0 elemű: ∅

• 1 elemű: { 1 } ; { 3 } ; { 5 }

• 2 elemű: { 1 ; 3 } ; { 1 ; 5 } ; { 3 ; 5}

• 3 elemű: { 1 ; 3 ; 5}

Példa:

Alaphalmaz, komplementer halmaz

Példa: