MÓDULO II FUNCIONES- GEOMETRÍA ANALITICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

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​MÓDULO II
FUNCIONES

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​FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

​ Situación inicial:



Un corredor de maratón ha avanzado 2 km en los primeros 8 minutos de su recorrido. Si mantiene la

velocidad después de los 8 minutos:

1. Encuentra la constante de proporcionalidad.

2. Representa la distancia recorrida y, después de x minutos.

3. ¿Cuánto tiempo tardará en completar los 42 km del recorrido?

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​FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

​ Solución:


1. Como se conoce un par de valores para x y y, se sustituyen en la expresión y = ax para calcular el

valor de a.







2. Al expresar la distancia y, después de x minutos, se tiene:

​3. Para determinar en cuánto tiempo completa los 42 km de recorrido, se sustituye el valor de y = 42,

en y:









entonces x = 168 minutos.

Por tanto, para completar los 42 km, necesita 2 horas con 48 minutos.

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​FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

Conocimiento:

Las funciones de primer grado, también conocidas como funciones lineales, están representadas por la fórmula f(x) = ax + b, donde "a" es la pendiente y "b" es el coeficiente lineal. donde a indica que es una relación de proporcionalidad entre las variables. b es una constante y recibe el nombre de ecuación de la función. Se puede obtener el valor de b cuando x = 0. Cuando la constante b toma el valor de cero, la función lineal coincide con la proporcionalidad directa y se expresa como y = ax.

Su dominio son los números reales (R) porque es el conjunto más amplio para el cual la fórmula tiene sentido.
,

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​FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

Conocimiento

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​​FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

​Marta tiene un taller de costura, mensualmente tiene un gasto fijo de 10 dólares en energía eléctrica, más 3 dólares por cada hora trabajada.

a) Completa la siguiente tabla tomando como y el total mensual a pagar por la energía eléctrica al

trabajar x horas al mes.





b) Si trabaja 8 horas, ¿cuánto paga de energía eléctrica? Y si se trabajan 100 horas, ¿cuánto pagaría?

c) Expresa y como una función lineal de x.

d) Determina cómo cambian los valores de y a medida que los valores de x cambian.

​Ejemplo 2:

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​FUNCIÓN DE PRIMER GRADO

Solución:

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​FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Situación inicial

​Al dejar caer una pelota desde un edificio, la distancia que recorre hasta llegar al suelo varía como lo muestra la siguiente tabla:



Donde x es el tiempo transcurrido (desde que se deja caer la pelota) y y es la distancia recorrida por la pelota después de x segundos.
a) Cuando x toma los valores 0, 1, 2, 3 y 4, ¿qué valores toma y? ¿Es y directamente proporcional a x?

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​FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Situación inicial.

b) En tu cuaderno, completa la siguiente tabla y responde, ¿qué relación hay entre x^2 y y?





c) ¿Cuál será la distancia recorrida después de 5 segundos?

d) Escribe y en términos de x.

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​FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Solución:

​a) Cuando x toma valores 0,1,2,3 y 4, entonces y toma los valores 0,5,20,45 y 80 respectivamente.
Si y fuese directamente proporcional a x, entonces al cambiar x dos veces o tres veces, y también cambiaría dos o tres veces. Pero no ocurre.
Al cambiar x=1 dos veces (x=2) el valor de y=5 cambia cuatro veces (y=20)
Al cambiar x=1, tres veces (x=3) el valor de y=5, cambiaría 9 veces (y=45)




Por lo tanto y no es directamente proporcional a x.
b) La tabla queda de la siguiente manera:

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​FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

​ Solución:
Al multiplicar por 5 cada una de las cantidades en x^2, el resultado son sus respectivas cantidades en y

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​FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

• La función cuadrática es un polinomio de segundo grado, donde la variable principal está elevada al cuadrado.

• Se distingue por formar una parábola simétrica con el eje vertical, siendo una herramienta clave en matemáticas y otras ciencias.

• Los cambios en la función, como sumar o multiplicar por un número, afectan su posición o anchura en la gráfica.

• La función puede ser cóncava o convexa dependiendo del signo del término cuadrático.
  Si el signo es positivo -> la función tendrá un mínimo en la X, y por tanto, será cóncava. 

  Si el signo es negativo -> la función tendrá un máximo en la X, y por tanto será convexa. 

Conocimiento:

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​FUNCIÓN DE TERCER GRADO

Situación inicial:

​Trazar la gráfica de una función polinomial de grado 3. Encuentre todos los valores para x tal que f(x)>0 y que f(x)<0, Trace la gráfica de f.

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​FUNCIÓN DE TERCER GRADO

Solución:

​Veamos que de la última ecuación, al igualar cada factor a cero, los puntos de corte del eje x de la gráfica son-2,-1 y 2, dividiendo al eje en 4 partes, consideramos cuatro intervalos:

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​FUNCIÓN DE TERCER GRADO

Solución:

Se puede determinar el signo de f(x) en cada uno de estos intervalos utilizando una tabla de signos. La gráfica se encuentra arriba del eje x para valores de x tales que f(x)>0 y abajo del eje x para toda f(x)<0.

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​FUNCIÓN DE TERCER GRADO

​Una función polinómica de tercer grado, o función cúbica, se expresa de la siguiente forma:



donde a, b, c y d son números reales, denominados coeficientes del polinomio y a≠0.

​Conocimiento:

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​FUNCIÓN DE TERCER GRADO

1)El dominio de las funciones cúbicas es  R.

2) El recorrido de las funciones es  R.

3) Son funciones continuas en todo R.
4) Cortan al eje X en uno, dos o tres puntos, según el número de raíces reales de   ax³ + bx² + cx + d 
5) Cortan al eje Y en el punto   (0 , d) ,  pues  f(0) = d .

​CARACTERÍSTICAS

• Swokoski, Cole, (2009). Álgebra y Trigonometría con geometría analíica. 12a. Edición. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

• Argueta A. et.al, (2019). Matemática 8 : libro de texto. Segunda Edición. ESMATE MINEDUCYT.

• Argueta A. et.al, (2019). Matemática 9 : libro de texto. Segunda Edición. ESMATE MINEDUCYT.

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​Referencia
Bibliográficas.

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