Cálculo Optimización: máximos y mínimos

La demanda de un artículo que produce una compañía varía con el precio que ésta cobra del artículo. La compañía determinó que los ingresos totales anuales I(x) (en miles de pesos) son una función del precio p (en pesos). Específicamente:

I(p)=-50p² + 500p
¿Qué precio debe cobrarse para maximizar los ingresos totales?

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Paso No.1 Derivar la función con respecto a la variable p. Si derivas I(p)=-50p² + 500p, ¿Qué resultado obtienes?

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Al hallar la derivada de la función I(p)=-50p² + 500p el resultado es I'(p)=-100p + 500. Si éste resultado se iguala a cero, es decir, 0=-100p+500 y despejas la variable "p" ¿Qué valor obtienes?

¿Cómo saber si ese valor de "p" nos arroja un máximo o un mínimo?

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Si derivas nuevamente la función, es decir, si derivas el resultado de la primera derivada, cuánto te da I''(p)? ¿Puedes concluir que es un máximo o un mínimo?

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Si reemplazas el valor obtenido para p en la función original del ingreso. (p=5 en I(p)=-50p² + 500p) Cuál sería entonces el resultado del ingreso máximo para la compañía?

Ejercicio No.2
Lote rectangular

Un terreno rectangular está cercado y dividido en 3 partes iguales con una cerca de alambre. El largo total de la cerca de alambre es de 300 mts. Determinar las dimensiones del terreno para que su área sea máxima.

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¿Podrías proponer una fórmula que permita hallar la longitud total de cerco que se deberá usar en términos de X y Y?

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¿Puedes proponer una fórmula para hallar el área del lote en términos de X y Y?

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Siendo el área A=X*Y y la longitud total del cerco L=2X+4Y. Si ya sabemos que la longitud de cerco de la que disponemos es de 300 metros, es decir, 300=2X+4Y, entonces. ¿Podrías despejar a X o a Y en función de la otra variable? Escribe tu respuesta.

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Si despejaste la variable X en función de Y, tu resultado fue X=150-2Y. Al reemplazar ese valor de X en la ecuación del área del lote A=X*Y, entonces quedaría:

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Siendo A=150Y-2Y^2. La derivada del área con respecto a la variable Y es

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Al igualar ese resultado a Cero (Porque para obtener el área máxima, la derivada del área la igualamos a cero, ya que la pendiente de la tangente en ese punto es cero). Qué valor obtienes para Y? A'=150-4Y. 0=150-4Y

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Ahora, si Y=37,5 y sabíamos que X=150-2Y. Qué valor obtenemos para X?

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Tenemos entonces que Y=37,5 y X=75, por lo tanto, el área máxima obtenida A=X*Y es: