等差數列與級數

第 1 章 等差數列和等差級數

1-1 規律

1. 日_____而作，日_____而息，日復一日，生生不息，每天再怎麼累，

只要好好睡覺，明天一早醒來，又會再度精神抖擻！

2. 不同季節盛產不同水果，盛產時，1 月有________、4 月有________、

下一個月就可以有________可以吃了！8 月有________，再 2 個月，

就是________的盛產期。

結論：有規律可預測。

1

1-2 數列

1.使用牙線來清潔牙齒的順序是什麼呢？

(請用 1、2、3、4、5 在方格中標示順序)

2.那一種進食順序可以讓人又瘦又健康？

□飯→菜→肉

□飯→肉→菜

□菜→肉→飯

3.彩券上的號碼是 01、03、40、46、44、48，但頭獎的開獎的順序是

44、01、40、 46、48、03，這張彩券有中頭獎嗎？______。

4.以下是 A、B、C 三人 9 次小考成績。

小考1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

2

4

6

8

10

12

14

16

18

B

18

16

14

12

10

8

6

4

2

C

2

18

16

4

8

6

14

10

12

(1)A、B、C 三人的考試表現，你比較喜歡誰的表現？______。

理由：____________________。

(2)時好時壞的人是____，穩定退步的人是____，穩定進步的人是____。

結論：當數字依序排成一列，被簡稱為數列，有時數列的順序與結

果無關，譬如開獎順序。有時數列的順序會影響結果或表現，譬如小考

成績。我們在此所謂的數列是一種有順序的數字，只要順序不同，就算

包含相同的數字，仍是不同的數列。

答案在這裡

t.ly/ykgP

答案在這裡

t.ly/DObX

2

1-3 數字之間有相同差距的數列--等差數列

1.小茜在 101 大樓：

(1)小茜在第 86 樓層剛用完餐，小茜想運動，往上走 2 個

樓層後，小茜會出現在第_____樓層。

(2)從 88 樓層到 91 樓層的觀景台，

需 □往上□往下走_____個樓層。

(3)從 91 樓層的觀景台回 88 樓層，

需 □往上□往下走_____個樓層。

(4)小茜在第 88 樓層，繼續往下 3 個樓層，小茜會出現在

第_____樓層。

結論：出發樓層＋移動的樓層數＝終點樓層。

移動樓層數可以是正(往上)，也可以是負(往下)。

2.小馬在 101 大樓看到一個特別的電梯，這電梯只停 1、6、

11、16…，每 5 個樓層停 1 次。

(1)小馬目前在第 10 樓層，想乘坐這電梯到第 16 樓層，

這電梯會開門嗎？□會□不會。

(2)小馬目前在第 21 樓層，乘坐這電梯往上，連停 4 次之

後，小馬會出現在第_________樓層。

(3)小馬目前在第 76 樓層，乘坐這電梯往下，連停 6 次之

後，小馬會出現在第_________樓層。

(4)小馬從第 11 樓層乘坐電梯到第 36 樓層，

這電梯總共停了幾次？___________次。

(5)小馬從第 86 樓層乘坐電梯到第 56 樓層，

這電梯總共停了幾次？___________次。

結論：出發樓層＋5 ×電梯停的次數＝終點樓層。

庭的次數也可以有正(往上的)有負(往下的)。

91

90

89

88

87

86

85

84

83

82

81

91

86

. . .

76
. .
.

56
. .
.

36
. .
.

21

16

11

6

1

3

3.請檢查下面的數列數字間前後的差(前一個到下一個的變化)是否固

定，如果是，請寫出它們固定的差。

(1)6、10、14、18、22、26；□不是□是，前後差=_____。

(2)7、10、13、16、19、23、25；□不是□是，前後差=_____。

(3)9、9、9、9、9、9；□不是□是，前後差=_____。

(4)18、16、14、12、10、8、6；□不是□是，前後差=_____。

結論：數列數字間前後的差如果是固定的，被稱為等差數列。其

中固定的差被稱為公差，紀錄為後項=前項+公差。

4.阿芳過年大吃大喝，胖了好幾公斤，立志

在短時間之內瘦回來，爬 101 大樓的階梯

是個好方法，阿芳第 1 天爬到第 6 樓就沒

力了，只好坐電梯下樓回家休息，

如果，

(1)阿芳不放棄，決定每天都要比前一天多爬 1 層，請問，第幾天，

阿芳可以爬到第 101 樓呢？請填下表。

第幾天

1

2

…

15

…

爬了幾層

5

6

…

…

爬到第幾樓6

7

…

…

101

(2)阿芳不放棄，決定每天都要比前一天多爬 2 層，請問，第幾天，

阿芳可以爬到第 101 樓呢？請填下表。

第幾天

1

2

…

15

…

爬了幾層

5

7

…

…

爬到第幾樓6

8

…

…

101

結論：請根據(2)完成下面空格的填寫

+1

+1

+5

+( )

+2

+2

+2×( )

+2×( )

4

(3)阿芳如果選擇方案(1)減肥，從第 1 天到爬到 101 個樓層的那一

天，阿芳總共爬了幾個樓層呢？

總共爬的樓層數

＝第 1 天＋第 2 天＋…＋第？天 (爬到 101 個樓層的那一天)

＝ 5 ＋ 6 ＋…＋ 100

不好算吧？

沒關係，我們一起來想想看，可以怎麼來思考這個問題。

5.矩形的面積最好算，利用「切開」、「複製」和「補平」的方式，可

以將不是矩形的圖形變成矩形來讓面積變好算！譬如說：

(1)從傾斜處中間切開，剛好可以將左側補平成矩形！

(2)複製 1 個梯形，倒過來，拼在原圖上方，也可以補平成矩形！

(3)請模仿上面的方法，將下面的圖形變成矩形，直接畫在圖形上。

切開補平

先複製再倒扣補平

5

6

7

8

9

為什麼

不是 101 啊？

從中間切開

複製

5

6.當我們將等差數列當中的數字加起來後我們簡稱為「等差級數」

想計算等差級數的值，我們有下面兩種方法：

(1)方法 1：切開補平

等差數列有奇數項

等差數列有偶數項

結論：等差級數的和＝對稱兩項的平均數× 項數，

此平均數被稱為等差中項(等差中項不一定是一個項喔！)

(2)方法 2：先複製再倒扣補平 (不管等差數列有奇數項或偶數項)

結論：等差級數的和＝頭尾相加× 項數 ÷ 2。

5、6、7、8、9
這幾個數字的平均
恰好是中間項 7
因此，5+6+7+8+9

= ____ × 5

切開

變成矩形

補平

5

8

9

7

6

7

5

8

9

7

8

9

7

6

5

6

2 組 5、6、7、8、9
這幾個數字的平均
恰好是頭尾相加
因此，5+6+7+8+9

=

5

8

9

7

6

2 組 5、6、7、8、9、10
這幾個數字的平均
恰好是頭尾相加
因此，5+6+7+8+9+10

=

5

6

7

8

9

10

10

5

6

7

8

9

5

6

7

8

9

10

切開

補平

變成矩形

5

6

7

8

9

10

5、6、7、8、9、10
這幾個數字的平均
恰好是對稱兩項的平均
因此，5+6+7+8+9+10

=

附註：取任意一組對稱的兩項相加都可以喔！

6

7.練習一下，請算出下面等差級數的值。

(1)12+14+16+18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38=

(2)5+8+11+…+305=

8.下圖數線上的 A、B、C、D 四點所表示的數分別為 a、b、20、d。

若 a、b、20、d 為等差數列，且｜a－d｜＝12，則 a 值為何？

O

ABCD

ab

d

0

20
【基 99-2】

9.已知 a1 , a2 , …… , a40 為一等差數列，其中 a1 為正數，

且 a20＋a22＝0。判斷下列敘述何者正確？【會 110】

(A) a21＋a22＞0

(B) a21＋a22＜0

(C) a21×a22＞0

(D) a21×a22＜0

10.公園內有一矩形步道，其地面使用相同的灰色正方形地磚與相同的

白色等腰直角三角形地磚排列而成。下圖表示此步道的地磚排列方

式，其中正方形地磚為連續排列且總共有 40 個。求步道上總共使用

多少個三角形地磚？【會 108】

7

11.已知有若干片相同的拼圖，其形狀如圖(一)所示，且拼圖依同方向

排列時可緊密拼成一列，此時底部可與直線貼齊。當 4 片拼圖緊

密拼成一列時長度為 23 公分，如圖(二)所示。當 10 片拼圖緊密拼

成一列時長度為 56 公分，如圖(三)所示。求圖(一)中的拼圖長度為

多少公分？【會 109】

12.大冠買了一包宣紙練習書法，每星期一寫 1 張，每星期二寫 2 張，

每星期三寫 3 張，每星期四寫 4 張，每星期五寫 5 張，每星期六寫 6

張，每星期日寫 7 張。若大冠從某年的 5 月 1 日開始練習，到 5 月

30 日練習完後累積寫完的宣紙總數已超過 120 張，則 5 月 30 日可能

為星期幾？請求出所有可能的答案並完整說明理由。【會 104】

8

13.如圖，表演台前共有 15 排座位，其中第一排有 30 個，且每一排均比

前一排多 2 個座位。若某校有 1～25 班，每班 20 人，並依下列方式安

排學生入座：

1.依班級順序先排第一班，安排完後再排下一班。

2.前排的座位排滿後，才排下一排座位。

請問第幾班的學生全部都坐在第 8 排？【基 97-2】

14.已知 A 地在 B 地的西方，且有一以 A、B 兩地為端點的東西向直線

道路，其全長為 400 公里。今在此道路上距離 A 地 12 公里處設置第

一個看板，之後每往東 27 公里就設置一個看板，如圖所示。若某車

從此道路上距離 A 地 19 公里處出發，往東直行 320 公里後才停止，

則此車在停止前經過的最後一個看板距離 A 地多少公里？

【會 104】

表演台

第 2 排

第 3 排

第 15 排

第 1 排

A

012

39

66

B

9