Основы математической статистики

Основы математической статистики

By Андрей Лапицкий

​Математическая статистика

это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений (статистических данных).

​Генеральная и выборочная совокупности

Выборочной совокупностью или выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.
Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

​Пример

Пусть из 1000 студентов отобрано для тестирования 100 человек, тогда объём генеральной совокупности N=1000, а объём выборки n=100.

Fill in the Blanks

Количество детей в группах детского сада составило 18, 20,

24, 25, 26, 28, 30, 30. Найти объём выборки.

​Статистическое распределение выборки

​Замечания

​Статистическое распределение

Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

​статистическое распределение частот:	​статистическое распределение относительных частот:
​	​

Пример

В результате тестирования группа студентов набрала баллы: 3, 5, 1, 4, 5, 0, 4, 3, 3, 3.
Записать полученную выборку в виде вариационного ряда и статистического ряда.
Решение. Объём данной выборки равен n = 10.
Запишем варианты в порядке возрастания, таким образом, получим вариационный ряд: 0, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5.
Запишем статистическое распределение частот выборки:
Проверка:

​Пример

Fill in the Blanks

Найти объём выборки, статистическое распределение час тот которой имеет вид:

Fill in the Blanks

Найти k, если дано статистическое распределение частот выборки объёма n = 20:

Fill in the Blanks

Найти относительную частоту варианты x₁ = 2 выборки, статическое распределение частот которой имеет вид:

​Полигон частот

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).
Пример. Построим полигон относительных частот для выборки из предыдущего примера по уже известному статистическому распределению относительных частот:

​Задание 1

В результате опытов получена следующая выборка: 3, 6, 5, 4, 3, 4, 5, 6, 4, 5.
Найти объём выборки, записать вариационный ряд, составить статистическое распределение частот и статистическое распределение относительных частот выборки. Построить полигон частот.

Fill in the Blanks

Определить объём выборки по заданному полигону частот

Fill in the Blanks

Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n = 54. Найти частоту варианты x₃ = 3 выборки по заданному полигону частот:

​Числовые характеристики вариационного ряда

Для выборки можно определить числовые характеристики, аналогичные тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин.
Рассмотрим статистическое распределение частот выборки объёма n:




Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:

​Числовые характеристики вариационного ряда

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней:



Выборочная дисперсия может быть подсчитана также по формуле:

​Числовые характеристики вариационного ряда

Выборочная дисперсия характеризует, насколько варианты отклоняются от выборочной средней в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонение или разброс данных.
Выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии:




Для описания вариационного ряда используют также моду, медиану, размах и коэффициент вариации.

​Числовые характеристики вариационного ряда

​Числовые характеристики вариационного ряда

Размахом варьирования или размахом вариации вариационного ряда называется разность между наибольшей и наименьшей вариантами:


Коэффициентом вариации называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:




Коэффициент вариации служит для сравнения величины рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов.

​Пример

Найти числовые характеристики выборки, заданной статистическим распределением частот:






Разберите пример по учебнику Матвеевой на с. 107.
После этого перейдите к заданиям.

Fill in the Blanks

Найти медиану вариационного ряда 3, 5, 6, 7, 8.

Fill in the Blanks

Найти медиану выборки –10, –12, –13, –9, –4.

Fill in the Blanks

Дана выборка 11, 2, 11, 9, 8, 11, 14, 3. Найти её моду.

Fill in the Blanks

Дана выборка 11, 2, 11, 9, 8, 11, 14, 3. Найти её размах варьирования.

Задание 2

Игральную кость подбросили 60 раз. Получены следующие результаты:
3, 2, 5, 6, 6, 1, 4, 6, 4, 6, 3, 6, 4, 2, 1, 5, 3, 1, 6, 4, 5, 4, 2, 2, 4, 2, 6, 3, 1, 5, 6, 1, 6, 6, 4, 2, 5, 4, 3, 6, 4, 1, 5, 6, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 5, 6, 2, 3, 5, 4, 1, 2, 5, 3.
а) Записать выборку в виде вариационного ряда и статистического ряда частот.
б) Построить полигон частот выборки.
в) Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, раз мах варьирования, коэффициент вариации выборки.

Задание 3

Исследовать Вашу группу по возрасту: составить вариационный ряд и статистическое распределение частот и относительных частот; построить полигон частот; найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, размах варьирования, коэффициент вариации.