Основы математической статистики

Основы математической статистики

By Андрей Лапицкий

​Математическая статистика

это раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений (статистических данных).

​Генеральная и выборочная совокупности

Выборочной совокупностью или выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.
Объёмом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

​Пример

Пусть из 1000 студентов отобрано для тестирования 100 человек, тогда объём генеральной совокупности N=1000, а объём выборки n=100.

​Статистическое распределение выборки

​Замечания

​Статистическое распределение

Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

​статистическое распределение частот:	​статистическое распределение относительных частот:
​	​

Пример

В результате тестирования группа студентов набрала баллы: 3, 5, 1, 4, 5, 0, 4, 3, 3, 3.
Записать полученную выборку в виде вариационного ряда и статистического ряда.
Решение. Объём данной выборки равен n = 10.
Запишем варианты в порядке возрастания, таким образом, получим вариационный ряд: 0, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5.
Запишем статистическое распределение частот выборки:
Проверка:

​Пример

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

​Полигон частот

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).
Пример. Построим полигон относительных частот для выборки из предыдущего примера по уже известному статистическому распределению относительных частот:

​Задание 1

В результате опытов получена следующая выборка: 3, 6, 5, 4, 3, 4, 5, 6, 4, 5.
Найти объём выборки, записать вариационный ряд, составить статистическое распределение частот и статистическое распределение относительных частот выборки. Построить полигон частот.

Fill in the Blanks

Fill in the Blanks

​Числовые характеристики вариационного ряда

Для выборки можно определить числовые характеристики, аналогичные тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин.
Рассмотрим статистическое распределение частот выборки объёма n:




Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:

​Числовые характеристики вариационного ряда

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней:



Выборочная дисперсия может быть подсчитана также по формуле:

​Числовые характеристики вариационного ряда

Выборочная дисперсия характеризует, насколько варианты отклоняются от выборочной средней в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонение или разброс данных.
Выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии:




Для описания вариационного ряда используют также моду, медиану, размах и коэффициент вариации.

​Числовые характеристики вариационного ряда

​Числовые характеристики вариационного ряда

Размахом варьирования или размахом вариации вариационного ряда называется разность между наибольшей и наименьшей вариантами:


Коэффициентом вариации называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней:




Коэффициент вариации служит для сравнения величины рассеяния по отношению к выборочной средней двух вариационных рядов.

​Пример

Найти числовые характеристики выборки, заданной статистическим распределением частот:






Разберите пример по учебнику Матвеевой на с. 107.
После этого перейдите к заданиям.

Задание 2

Игральную кость подбросили 60 раз. Получены следующие результаты:
3, 2, 5, 6, 6, 1, 4, 6, 4, 6, 3, 6, 4, 2, 1, 5, 3, 1, 6, 4, 5, 4, 2, 2, 4, 2, 6, 3, 1, 5, 6, 1, 6, 6, 4, 2, 5, 4, 3, 6, 4, 1, 5, 6, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 5, 6, 2, 3, 5, 4, 1, 2, 5, 3.
а) Записать выборку в виде вариационного ряда и статистического ряда частот.
б) Построить полигон частот выборки.
в) Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, раз мах варьирования, коэффициент вариации выборки.

Задание 3

Исследовать Вашу группу по возрасту: составить вариационный ряд и статистическое распределение частот и относительных частот; построить полигон частот; найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, моду, медиану, размах варьирования, коэффициент вариации.