Mcm Y Mcd

m.c.m. y M.C.D.

Metodología de cálculo y aplicaciones

Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

El mínimo común múltiplo de más de dos números, es el menor de los múltiplos comunes a ellos.

Ejemplo 1. Hallar el m.c.m. (6, 8)

múltiplos del 6: 12, 18, 24, 30, 36,....

múltiplos del 8: 16, 24, 32, 40,....

El menor múltiplo común del 6 y el 8 es el 24

m.c.m. (6, 8) = 24

Otra forma de hallar el m.c.m. es:

• Descomponer los números dados en factores primos.

• Seleccionar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

• Multiplicar los factores anteriormente seleccionados

Ejemplo 2.

Hallar el m.c.m. entre 15, 9 y 24

Se descompone cada número en factores primos:

15 = 5 * 3

9 = 3²

24 = 2³ * 3

Seleccionamos los comunes y no comunes con su mayor exponente:

2³ , 3² y 5

Multiplicamos esos factores:

2³ * 3² *5 = 8 * 9 * 5 = 72 * 5 = 360 -> m.c.m. (9, 15, 24) = 360

Poll

El m.c.m. entre dos o más números es el producto entre ellos

Multiple Choice

El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es?

• 3

• 12

• 24

• 16

Aplicación del m.c.m.

Problema 1. Dos vehículos de formula 1 parten de la meta al mismo tiempo, uno de ellos recorre el circuito el 210 s y el otro en 245 s.

¿En qué momento de la carrera coinciden por primera vez en la salida?

Solución problema 1.

Debemos encontrar el m.c.m. entre 210 y 245, para lo cual:

* Expresamos ambos números como producto de sus factores primos.

* Seleccionamos los comunes y no comunes con su mayor exponente.

* Multiplicamos esos factores:

m.c.m. (210, 245) = 2 * 3 * 5 * 7²

= 30 * 49 = 1.470

Los 2 vehículos coincidirán en la salida a los 1.470 segundos, es decir, 24,5 minutos después de arrancar

Multiple Choice

Para calcular el m.c.m de más de dos números.....

• multiplicamos los factores comunes entre ellos

• se multiplican los factores no comunes

• multiplicamos comunes y no comunes con mayor exponente

• multiplicamos comunes y no comunes con menor exponente

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

El máximo común divisor de más de dos números, es el mayor de los divisores comunes a ellos.

Ejemplo 3. Hallar el M.C.D. (15, 45)

Divisores del 15: 1, 3, 5, 15

Divisores del 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Los divisores comunes del 15 y del 45 son el 1, 3, 5 y 15, pero el mayor de ellos es el 15, por lo tanto:

M.C.D. (15, 45) = 15

Aplicación del M.C.D.

En un laboratorio se están mezclando tres compuestos.

Del primero se tienen 10 mg, del segundo 15 mg y del tercero 90 mg. Se necesita hacer el máximo número de muestras posibles de manera que haya la misma cantidad de cada compuesto en cada una de ellas.

¿Cuántas muestras podremos hacer?

Solución problema 2.

En este caso debemos hallar los divisores comunes de cada compuesto:

D(10) = 1, 2, 5 y 10

D(15) = 1, 3, 5 y 15

D(90) = 1, 2, 3, 5, 9, 10, 18, 30, 45 y 90

Los divisores comunes son el 1 y el 5 pero el mayor de ellos es el 5, por lo tanto; se pueden realizar 5 muestras.

Poll

El M.C.D. de 3 y 19 es?

• 3

• 3 * 19

• 1

• 19

Multiple Choice

Juan limpia su cuarto cada 4 días y el baño cada 6.

Si hoy limpia su cuarto, en que día limpiará ambos?

• el día 24

• el día 12

• El día 36

• El día 16

Multiple Select

Para calcular el M.C.D. de tres números podemos descomponerlos en factores primos y multiplicamos....

• los comunes con menor exponente

• los comunes y no comunes con mayor exponente

• los comunes con mayor exponente

• los no comunes con menor exponente

Poll

Manuel tiene una caja con 12 naranjas y otra con 18 peras y quiere distribuir las frutas en cajas más pequeñas de forma que: Todas las cajas tienen el mismo número de frutas, * Cada caja sólo puede tener peras o naranjas y * Las cajas deben ser lo más grande posible. ¿Cuántas frutas debe haber en cada caja?

• 3

• 5

• 4

• 8

• 6

Solución al problema anterior

Para repartir las frutas en partes iguales debemos hallar los divisores de 12 y 18.

D(12) = 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

D(18) = 1, 2, 3, 6, 9 y 18.

La capacidad de todas las cajas tiene que ser la misma, tenemos que elegir un divisor común entre los divisores de 12 y los de 18. Los cuales son: 1, 2, 3 y 6. Además, tenemos que elegir el divisor común que sea máximo que resulta ser el 6.

Por tanto, las cajas deben tener 6 frutas cada una.