МРиИБ Множества

Множества

Множество – это фундаментальное понятие математики, такое же как точка или прямая. Дать ему определение нельзя. Но можно понимать множество как совокупность определенных элементов.

​Например, существует множество всех людей на Земле или множество всех существующих самолетов, множество книг в библиотеке.

ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА:

В математике чаще всего рассматривают не конкретные вещи, а абстрактные элементы. Это могут быть числа, выражение или буквы.

Множества обозначаются большими латинскими буквами, например А, В, С и т. д. Элементы множества, т. е. то, из чего оно состоит – маленькими латинскими буквами.

Например:

А={a, b, c, d...}

Это значит, что существует некое множество А, состоящее из элементов a, b, c и так далее.

ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА:

Можно отдельно описывать ситуацию в обратную сторону, когда конкретный элемент или элементы является частью множества, например:

a∈A

b∈A

c, d∈A

Если существует конечное число элементов множества, то оно называется конечным. Если нет, тогда множество бесконечное.

Например, множество N натуральных чисел бесконечное. Мы можем перечислить несколько элементов этого множества, но конечное мы никогда не узнаем.

Задать множество можно двумя способами:

1. Способ задания множества перечислением всех его элементов.

Например:

А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Конечно, задать множество перечислением его элементов возможно, если это множество конечное. Но это неудобно, если множество конечное, но состоит из огромного количества элементов. Таким способом невозможно перечислить, например, всех муравьев на Земле.

Задать множество можно двумя способами:

2. Способ задания множества свойствами его элементов.

В предыдущем пункте множество А состоит из всех чисел от одного до 10 включительно, тогда можем задать это множество так:

Множество А – это множество, все элементы a, которого равны от 1 до 10 включительно.

Математическим языков мы запишем это так:

А={a∣1≤a≤10 }

Это значит, что для каждого элемента a множества А соблюдается условие 1≤a≤10.

Пустое множество – это частный случай конечного множества, в котором нет ни одного элемента.

Записывается это как В=∅

ПОДМНОЖЕСТВА:

Если множество не пустое, то в нём можно выделить подмножество. Оно будет являться самостоятельным множеством, которое полностью включено в другое.

Например, мы знаем, что множество рациональных чисел R включает в себя множество целых чисел Z, а множество целых Z,
в свою очередь включает в себя множество
натуральных чисел N:

N⊂Z⊂R

ПОДМНОЖЕСТВА:

Это значит, что каждый элемент множества ℕ является элементом множества Z и R. Но не все элементы множеств Z и R не являются элементами множества .

Например:

1∈N⇒1∈Z, R

0∈Z⇒0∈R

–73∈R, –73∉N, Z  

Такая круговая схема называется
кругами Эйлера-Венна, названной в честь двух
математиков. На такой схеме наглядно можно
рассматривать расположение различных множеств
и подмножеств относительно друг друга.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ:

Если существуют элементы, которые принадлежат двум множествам сразу, при этом ни одно из множеств не является подмножеством другого (как например целые и натуральные числа), то такой элемент находится на пересечении этих множеств. Круги Эйлера-Венна наглядно могут это показать:
Все элементы, находящиеся на
пересечении двух множеств,
составляют новое
множество пересечения:

С=А∩В={x∣x∈A, x∈B }

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ:

С=А∩В={x∣x∈A, x∈B }. Такая запись означает, что множество С – это множество, образованное пересечение множеств А и В, при этом оно состоит из элементов х, при условии, что x принадлежит и множеству А, и множеству В.

Знак ∩ означает пересечение и является эквивалентом операции «И». То есть каждый элемент x принадлежит множеству А И В.

Пересечение множеств применяется там, где нужно, чтобы какой-либо элемент обладал сразу двумя свойствами.
Например, система имеет решение тогда,
когда искомые переменные удовлетворяют
всем её уравнениям одновременно, то есть
находятся на пересечении всех решений.

Пример №1:

Обозначьте на схеме Эйлер-Венна следующие множества:

Всего в классе 25 учеников. 15 из них изучают английский язык, 14 – немецкий.

1. Если учеников, изучающих английский и немецкий языки в сумме больше, чем 25, это значит, что некоторые ученики изучают оба языка сразу. Такие ученики попадут как раз в пересечения множеств учеников, изучающих И английский И
немецкий языки.

Найдем количество учеников на пресечении
множеств:

(15+14)–25=29–25=4

​ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ:
Если нам нужны любые элементы, которые принадлежат А ИЛИ Б, то мы говорим об объединении этих множеств:
А ∪ В = { x ∣ x ∈ A или x ∈ B }
В таком случае любой элемент, неважно, попадает он только в область А, только в область В или на их пересечения,
попадает в объединение множеств А и В.
В таком случае, достаточно, чтобы
элемент x принадлежал А ИЛИ В.
Множество таких элементов, образуют
новое множество.

Пример №2:

Рассмотрим пример с тем же классом.

Если мы хотим обозначить множество учеников, которые занимаются английским ИЛИ немецким языком. Таким образом, любой ученик в классе учит английский ИЛИ немецкий ИЛИ оба языка сразу. Тогда нам подойдет весь класс из 25 человек:

РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ:

Разность множеств обозначается как А/В. Это означает область А, из которой убрали всю область В. То есть элемент, попадающий в такую разность, принадлежит области А, и не принадлежит области В:

Пример №3:

1. Найдем всех учеников, которые изучают английский, но НЕ изучают немецкий. Для этого из множества всех учеников нужно вычесть множество тех, кто изучают немецкий:
25 – 14 = 11

​2. И найдем всех учеников, которые изучают немецкий и НЕ изучают английский:
Для этого из множества всех учеников нужно вычесть множество тех, кто изучает английский:

25 – 15=10

​АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ: На основе этого алгебраические действия с множествами имеют следующие свойства:
1. Свойство коммутативности (перестановки) объединения и пересечения:
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
2. Свойство ассоциативности (сочетательное) объединения и пересечения:
A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
3. Свойство дистрибутивности (распределения) пересечения относительно объединения:
A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
4. Операции с пустыми множествами: A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅
Если рассмотреть пустое множество как 0, пересечение как произведение, а объединение как сложение, то мы видим, что при сложении с нулём число не меняется, а при произведении с нулем, получается ноль.

Multiple Choice

• 2

• 4

• 3

• 5

• 6

Multiple Choice

Во множестве А есть 20 простых, 14 составных и 24 нечетных числа. Количество нечетных составных чисел равно 5. Сколько четных чисел в этом множестве?

• 10

• 11

• 24

• 5

• 8

Multiple Choice

Каждая семья многоэтажного дома стала абонентом либо газеты, либо журнала, либо и газеты, и журнала. Абонентом газеты стало 75 семей, абонентом журнала - 27 семей, абонентом и газеты, и журнала стали - 13 семей. Сколько семей живут в доме?

• 92

• 102

• 89

• 99

• 76

Multiple Choice

Во время зимних каникул только два ученика из 36 никуда не ходили. 25 учеников побывали в кино, 15 учеников - в театре и 17 - в цирке, 11 учеников побывали и в театре и в кино, 10 учеников - и в кино, и в цирке, 4 ученика - и в театре, и в цирке. Сколько учеников побывали и в театре и в кино и в цирке?

• 4

• 3

• 0

• 1

• 2

Multiple Choice

15 студентов пили только чай, 10 студентов пили только кофе, 5 студентов пили и кофе и чай. Если 10 студентов группы ничего не пили, то сколько всего студентов в группе?

• 40

• 35

• 30

• 25

• 20

Multiple Choice

Какие из следующих верны?

I. Натуральные числа содержат множество действительных чисел

II. Рациональные числа содержат множество целых чисел

III. Иррациональные числа содержат целые числа.

• I, II

• I, II, III

• II, III

• II

• все неверно

Multiple Choice

$$P=\left\{a,\ b,\ c,\ d\right\};\ \ Q=\left\{d,\ c,\ b\right\};\ \ R=\left\{a,\ b\right\}$$ $$\left(P\cap R\right)\cup Q=?$$

• P - Q

• P - R

• P

• Q

• R

Multiple Choice

$$P=\left\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10\right\};\ Q=\left\{xI1<x<10,x\in Z\right\}$$ $$n\left(P\cap Q\right)=?$$

• 8

• 7

• 6

• 5

• 4

Multiple Choice

$$A\cap B=0,\ \ \ n\left(A\right)=6,\ \ \ n\left(B\right)=10$$ $$n\left(A\cup B\right)=?$$

• 16

• 12

• 10

• 8

• 6

Multiple Choice

$$A=\left\{1,2,3\right\};A\cup B=\left\{0,1,2,3,4,5,6\right\};A-B=\left\{2,3\right\}$$ $$B=?$$

• {4,5,6}

• {0,4,5,6}

• {0,1,4,5,6}

• {3,4,5}

• {5,6}

Multiple Choice

Если A=Z-N, то что из следующего верно?

• $$A=\left\{-\infty...,-3,-2,-1\right\}$$

• $$N\in A$$

• $$Q\in\left\{A\cup Z\right\}$$

• $$A=\left\{-\infty...,-3,-2,-1,0\right\}$$

Multiple Choice

• 54

• 21

• 16

• 18

• 62

Multiple Choice

В группе из 36 студентов есть играющие в баскетбол, в волейбол и не играющие ни в баскетбол ни в волейбол. Количество студентов, играющих только один из упомянутых видов спорта равно 20, волейбол играют 16 студентов и 4 студента не играют ни один из упомянутых видов спорта. Сколько студентов играют только баскетбол?

• 8

• 12

• 16

• 18

• 20

Multiple Choice

$$A=\left\{0,1,2,3,4\right\},B=\left\{0,2,4,6,8\right\},C=\left\{1,5,6,7\right\}$$ $$n\left(A\cup B\cup C\right)=?$$

• 5

• 9

• 7

• 12

• 15

Multiple Choice

Если C и D множества чисел, и каждый член множества С содержится в множестве D, то какое из следующих утверждений будет несомненно НЕПРАВИЛЬНЫМ?

• 0 относится к множеству С и D

• 1 не относится к множеству С и D

• 2 относится к множеству D, но не относится к множеству С

• 3 относится к множеству С, но не относится к множеству D

• Если 4 не относится к множеству D, то оно не относится к множеству С

Multiple Choice

$$n\left(A\right)=10,n\left(B\right)=7,n\left(A\cap B\right)=2$$

$$n\left(A\cup B\right)=?$$

• 19

• 17

• 12

• 10

• 15

Multiple Choice

А - множество книг в библиотеке на иностранных языках. В - множество романов в библиотеке. Пересечение множеств А и В это ...

• книги на иностранных языках

• все книги

• все книги на родном языке

• романы на иностранных языках

• исторические романы на родном языке

Multiple Choice

$$A=\left\{-1,0,1,2,3\right\},C=\left\{2,3,4,5\right\}$$

$$\left(\left(A-C\right)\cup C\right)-A=?$$

• {4,5}

• {-1, 0, 1}

• {2, 3}

• {2, 3, 4, 5}

• {3, 4}

Multiple Choice

Объекты, из которых состоят множества, называются ...

• Пересечениями

• Элементами множества

• Частями множества

• Объединениями

Multiple Choice

Как обозначаются множества?

• Большими буквами латинского алфавита

• Маленькими буквами латинского алфавита

• Числами

• Большими буквами китайского алфавита

Multiple Choice

Множество, которое не содержит элементов, называется ...

• Открытым множеством

• Пустым множеством

• Прямым множеством

• Подмножеством

Multiple Choice

Из каких элементов состоит пересечение двух множеств?

• Оно состоит из общих элементов двух множеств

• Оно состоит из всех элементов множеств

• Оно состоит только из четных элементов множеств

• Такого понятия не существует

Multiple Choice

Что используется для геометрической иллюстрации множеств?

• Квадраты Малевича
• Эллипсы Коперника
• Круги Эйлера
• Кривые Безье

Multiple Choice

Дополните данное множество 1 элементом.
 В = {крыжовник, смородина, виноград, ...};

• малина
• морковь
• помидор
• лук

Multiple Choice

Как обозначаются операции пересечения и объединения множеств?

• ∈ и ∉.

• ⋂ и ∪.

• ∧ и ∨.

• ⟘ и | |.

Multiple Choice

Множество А={2, 4, 6, 8, 10, 12}, а В={3, 6, 9, 12}. Какие из чисел могут находиться в множестве, обозначенном заштрихованной областью?

• 2, 4

• 3, 9

• 6, 12

• 5, 7

Multiple Choice

На диаграмме Эйлера представлено ..

• Объединение множеств

• Пересечение множеств

Multiple Choice

Даны два числа: 178 и 973. Укажите множество, являющееся объединением множеств цифр этих чисел

• {1,7,8,9,3}

• {178973}

• {7}

• {1,7,8,9,7,3}

Multiple Choice

Какой операции над множествами соответствует выражение “Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В.”:

• пересечение множеств

• перечисление множеств

• дополнение множества

Multiple Choice

Какой операции над множествами соответствует выражение “Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А ИЛИ множеству В.”:

• объединение множеств

• пересечение множеств

• дополнение множества А до В

Multiple Choice

Укажите множество, равное множеству K={65, 70, 75, 80}.

• {60, 70, 80}

• {70, 65, 80, 75}

• {70,75}

• {65,71,80, 90}

Multiple Choice

Из каких элементов состоит пересечение двух множеств?

• Оно состоит из общих элементов двух множеств

• Оно состоит из всех элементов множеств

• Оно состоит только из четных элементов множеств

• Такого понятия не существует

Multiple Choice

Запишите множество букв слова МАТЕМАТИКА

• {м,а,т,е,и,к}

• {математика}

• {м,а,т,е,м,а,т,и,к,а}

• {м,т,к}

Multiple Choice

Красным цветом на рисунке изображена операция

• Пересечения множеств

• Объединения множеств

• Разность множеств