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​Algebra Boolena

By Arturo Alderete Patlán

Matemático, lógico y filósofo inglés, considerado el padre de la lógica simbólica y uno de los fundadores del campo de la informática.

​

George Boole
(1815-1864)

Definición

También conocida como álgebra binaria o lógica, es una rama de las matemáticas que se basa en que las variables solo pueden tener dos valores: verdadero o falso (lógica proposicional) , representados comúnmente con los números binarios 1 y 0.

Aplicaciones principales

• Diseño de circuitos digitales: Permite simplificar circuitos lógicos para hacerlos más eficientes en términos de coste y espacio. Cada operación booleana corresponde a una compuerta lógica básica (AND, OR, NOT).

• Programación: Es fundamental para la evaluación de condiciones, estructuras de control y el flujo de ejecución en los algoritmos.

• Bases de datos: En las consultas a bases de datos, los operadores booleanos (AND, OR, NOT) se usan para combinar criterios de búsqueda y filtrar registros de manera precisa.

• Motores de búsqueda: Permiten refinar las búsquedas en internet, ayudando a incluir o excluir términos específicos

El resultado es verdadero (1) solo si todas las entradas son verdaderas.

Se representa con un punto (⋅) o por la yuxtaposición.

Por ejemplo, 𝐴⋅𝐵

​​Conjunción (AND):

​El resultado es verdadero (1) si al menos una de las entradas es verdadera.
Se representa con el signo más (+).

Por ejemplo, 𝐴+𝐵

.

Disyunción (OR):

Invierte el valor de la variable, de verdadero (1) a falso (0) y viceversa.

Se representa con una barra sobre la variable o con una prima.

Por ejemplo, Ā o 𝐴′

Negación (NOT):

Conectores lógicos:

Ejemplos

Los teoremas y postulados de Boole son los principios fundamentales que rigen el álgebra booleana, el sistema matemático de la lógica proposicional. Los postulados son las afirmaciones básicas que se aceptan como verdaderas sin necesidad de demostración, mientras que los teoremas se derivan de estos postulados. 

Axiomas

Inducción matemática

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Teoremas y Postulados

-Postulado 1: Conmutativa

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 (La suma lógica o OR es conmutativa).

·         𝐴⋅ 𝐵 = 𝐵 ⋅ 𝐴 (El producto lógico o AND es conmutativo).

Postulado 2: Asociativa

·         𝐴 + ( 𝐵 + 𝐶 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) + 𝐶  (La suma lógica es asociativa).

𝐴 ⋅ ( 𝐵 ⋅ 𝐶 ) = ( 𝐴 ⋅ 𝐵 ) ⋅ 𝐶  (El producto lógico es asociativo).

Postulado 3: Distributivita

·         𝐴 ⋅ ( 𝐵 + 𝐶 ) = ( 𝐴 ⋅ 𝐵 ) + ( 𝐴 ⋅ 𝐶 )  (El producto lógico se distribuye sobre la suma lógica).

𝐴 + ( 𝐵 ⋅ 𝐶 ) = ( 𝐴 + 𝐵 ) ⋅ ( 𝐴 + 𝐶 ) (La suma lógica se distribuye sobre el producto lógico).

Postulado 4: Elementos de identidad

𝐴 + 0 = 𝐴  (0 es el elemento neutro para la suma lógica).
𝐴 ⋅ 1 = 𝐴  (1 es el elemento neutro para el producto lógico).

Postulado 5: Complementos

·         𝐴 + 𝐴̄ = 1  (La suma de una variable con su complemento siempre es 1).

·         𝐴 ⋅ 𝐴̄ = 0  (El producto de una variable con su complemento siempre es 0). 

Estos axiomas, también conocidos como postulados de Huntington, establecen el fundamento del álgebra booleana. 

​Postulados fundamentales. 

Teorema de idempotencia

𝐴 + 𝐴 = 𝐴

𝐴 ⋅ 𝐴 = 𝐴

Teorema de absorción

𝐴 + ( 𝐴 ⋅ 𝐵 ) = 𝐴

𝐴 ⋅ ( 𝐴 + 𝐵 ) = 𝐴

Teorema de anulación

𝐴 + 1 = 1

𝐴 ⋅ 0 = 0

Los teoremas son reglas que se pueden demostrar a partir de los postulados. Ayudan a simplificar y manipular expresiones booleanas complejas. 

Teoremas del álgebra de Boole 

Teorema de involución

𝐴̄=𝐴 (El doble complemento de una variable es la variable original).

Teorema de De Morgan

• Primera Ley:

( 𝐴 + 𝐵 ) = 𝐴̄ ⋅ 𝐵̄  (La negación de una suma lógica es el producto de las negaciones).

• Segunda Ley:

(𝐴 ⋅ 𝐵 ) = 𝐴̄ + 𝐵̄  (La negación de un producto lógico es la suma de las negaciones).

Teorema del consenso
( 𝐴 ⋅ 𝐵 ) + ( 𝐴̄ ⋅ 𝐶 ) + ( 𝐵 ⋅ 𝐶 ) = ( 𝐴 ⋅ 𝐵 ) + ( 𝐴̄ ⋅ 𝐶 )