Probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea (2)

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a+b =20 şi (a,b)=4, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Pentru a determina valorile numerelor a şi b, putem scrie

• a = 4·x şi b= 4·y , unde x şi y sunt numere prime între ele (cel mai mare divizor comun al lor este 1)

• a=20:4 şi b=20:5

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a+b =20 şi (a,b)=4, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Înlocuind în a+b=20 , pe a cu 4·x şi pe b cu 4·y, obţinem

• x+y=20

• 4(x+y)=20

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a+b =20 şi (a,b)=4, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Înlocuind în a+b=20 , pe a cu 4·x şi pe b cu 4·y şi ţinând cont că x şi y sunt prime între ele, obţinem

• x∈ { 1, 4, 2, 3} şi y∈ { 4, 1, 3, 2}

• x∈ { 1, 5 } şi y∈ { 5, 1 }

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a+b =20 şi (a,b)=4, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Înlocuind în a+b=20 , pe a cu 4·x şi pe b cu 4·y , obţinem

• a∊ {4•1, 4•5 } şi b ∈ { 4•5, 4•1 }.

• a∈ { 4•1, 4•4, 4•2, 4•3 } şi

  b∈ { 4•4, 4•1, 4•3, 4•2 }.

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a•b =2700 şi (a,b)=15, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Pentru a determina valorile numerelor a şi b, putem scrie

• a = 15·x şi b= 15·y , unde x şi y sunt numere prime între ele (cel mai mare divizor comun al lor este 1)

• a= 2700:15 şi b = 2700 : 15

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a•b =2700 şi (a,b)=15, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Înlocuind în a•b=2700 , pe a cu 15·x şi pe b cu 15·y, obţinem

• 15•x•y= 2700

• 225•x•y = 2700

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a•b =2700 şi (a,b)=15, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Înlocuind în a•b=2700 , pe a cu 15·x şi pe b cu 15·y ,obţinem

• x•y=12.

• x•y= 180

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a•b =2700 şi (a,b)=15, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Înlocuind în a•b=2700 , pe a cu 15·x şi pe b cu 15·y şi ţinând cont că x şi y sunt prime între ele, obţinem

• x∈ { 1, 2, 6, 3, 4, 12 } şi

  y∈ { 12, 6, 2, 4, 3, 1 }

• x∈ { 1, 3, 4, 12 } şi y∈ { 12, 4, 3, 1 }

Considerăm două numere naturale nenule a şi b , astfel încât a•b =2700 şi (a,b)=15, unde (a, b) este cel mai mai mare divizor comun al lor.

Înlocuind în a•b=2700 , pe a cu 15·x şi pe b cu 15·y ,obţinem

• a∈ { 15•1, 15•2, 15•6, 15•3, 15•4, 15•12} şi

  b∈ {15•12, 15•6, 15•2, 15•4, 15•3, 15•1}.

• a∈ {15•1, 15•3, 15•4, 15•12 } şi b∈ {15•12, 15•4, 15•3, 15•1}.

Pentru a determina valorile lui x , numere naturale, ştiind că fracţia  $\frac{3}{x+1}$  ia valori numere naturale, observăm că 

• x+1 este divizor al lui 3

• x+1 este multiplul lui 3