Teori Gelanggang dan Lapangan (Mid-semester Review)

Sifat / aksioma manakah yang tidak selalu berlaku pada sebarang gelanggang?

• Operasi penjumlahannya bersifat komutatif

• Operasi perkaliannya bersifat komutatif

• Operasi penjumlahannya bersifat asosiatif

• Operasi perkaliannya bersifat asosiatif

Manakah dari himpunan berikut yang merupakan lapangan?

• Z₆ terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 6

• Z₇ terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 7

• Z₈ terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 8

• Z₉ terhadap penjumlahan dan perkalian modulo 9

Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang pasti benar ?

• Setiap gelanggang komutatif merupakan lapangan

• Setiap gelanggang komutatif memiliki elemen satuan

• Setiap anggota daerah integral merupakan elemen unit

• Setiap lapangan merupakan daerah integral

Himpunan semua matriks berukuran 2x2 yang semua entrinya adalah bilangan real merupakan ... terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

• Gelanggang dengan elemen satuan

• Gelanggang komutatif

• Daerah integral

• Lapangan

Mengapa himpunan semua bilangan bulat Z bukan merupakan lapangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa?

• Karena tidak ada elemen satuan

• Karena bukan gelanggang komutatif

• Karena ada elemen pembagi nol

• Karena tidak setiap elemen tak nol merupakan unit

Dengan mengecualikan 0, ada berapa banyak elemen pembagi nol di Z₃₅?

• 24

• 11

• 10

• Tidak ada

Ada berapa banyak elemen unit di Z₂₇ ?

• 18

• 9

• 6

• 3

Jika A merupakan gelanggang komutatif dengan elemen satuan dan B merupakan gelanggang bagian dari A, maka :

• B juga merupakan gelanggang komutatif

• B juga memiliki elemen satuan

• Setiap elemen dari B merupakan unit

• B merupakan daerah integral

Mengapa himpunan bilangan ganjil bukan merupakan gelanggang bagian dari Z terhadap penjumlahan dan perkalian biasa?

• Memuat elemen pembagi nol

• Memuat elemen unit

• Tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

• Tidak tertutup terhadap operasi perkalian

Di antara himpunan-himpunan berikut, yang bukan merupakan gelanggang bagian dari himpunan semua matriks berukuran 3x3 atas Z (terhadap penjumlahan dan perkalian matriks) adalah ....

• Himpunan semua matriks segitiga atas berukuran 3x3 atas Z

• Himpunan semua matriks segitiga bawah berukuran 3x3 atas Z

• Himpunan semua matriks diagonal berukuran 3x3 atas Z

• Himpunan semua matriks invertibel berukuran 3x3 atas Z