Continuidad

Se dice que una función $f$  es continua en 

 $x=a$  si: (marque todas las condiciones que sean verdaderas)

•  $f\left(a\right)$   no existe

•  $f\left(a\right)$   existe

•  $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$  

•  $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$  existe

•   $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)$  no existe

Determine si existe o no continuidad en $x=a$  para cada una de las funciones cuyas gráficas se presentan. Asuma que  $L$  y  $M$  son números reales distintos. Marque las opciones donde hay continuidad en  $x=a.$  

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Sea  $I\$  un intervalo abierto contenido en el dominio de  $f.$  Entonces  $f$   es continua en el intervalo $I$  si: (escoja la opción correcta)

•  $f$  es continua en todo elemento  $x\in I.$  

•  $f$  es continua en un  $a\in I.$  

•  $f\left(x\right)=f\left(a\right).$  

•  $f\left(a\right)$  existe.

Sea  $f\left(x\right)=\sqrt{x}.$  Entonces  $f$  es continua en el intervalo  $\left[0,+\infty\right)$  pues: (marque todas las condiciones necesarias para que la afirmación sea verdadera)

•  $f\left(0\right)=0.$  
  

•  $\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)$  existe.

•  $f$  es continua en el intervalo abierto  $\left(0,+\infty\right).$  

•  $\lim_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=f\left(0\right).$  

•  $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)$  existe.

Considere la función dada en la figura. Marque todos los puntos dados a continuación donde la función es continua:

• $x=5.$

• $x=3.$

• $x=0.$

• $x=1.$

• $x=6.$

Considere la función dada en la figura. Marque todos los puntos dados a continuación donde la función sea continua:

• $x=-5.\$

• $x=6.$

• $x=0.$

• $x=-3.$

• $x=2.$

Considere de nuevo la función dada por la figura. Indique los intervalos dados a continuación donde es continua:

• Intervalo cerrado $\left[4,6\right].$

• Intervalo abierto $\left(1,4\right).$

• Intervalo abierto $\left(-\infty,-3\right).$

• Intervalo cerrado $\left[-3,0\right].$

• Intervalo abierto $\left(-3,2\right).$

Marque todos los teoremas a continuación que sean verdaderos:

• $f$ es continua en $x=a$ si y sólo si $\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$

• Si $f$ y $g$ son continuas en $x=a$ entonces $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ es continua en $x=a.$

• Si $f$ y $g$ son continuas en $x=a$ entonces $f\left(x\right)\ -\ g\left(x\right)$ es continua en $x=a.$

• Si $f$ y $g$ son continuas en $x=a$ entonces $f\left(x\right)g\left(x\right)$ es continua en $x=a.$

• Si $f$ y $g$ son continuas en $x=a$ entonces $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ (con $g\left(a\right)\ne0$ ) es continua en $x=a.$

Considere las funciones $f$  y  $g$  tales que  $\lim_{x\rightarrow a}g\left(x\right)=L$  y  $f$  es continua en  $L.$  Considerando la composición de funciones, escoja la opción correcta que es consecuencia de lo anterior:

•  $\lim_{x\rightarrow a}f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(L\right).$  

•  $\lim_{x\rightarrow a}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(L\right).$  

•  $\lim_{x\rightarrow L}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(a\right).$  

•  $\lim_{x\rightarrow L}f\left(g\left(x\right)\right)=g\left(a\right).$  

Considere los siguientes tipos de funciones. Marque todas las que son continuas en su dominio máximo:

• Polinomios.

• Funciones racionales.

• Radicales.

• Logaritmos.

• Funciones exponenciales.