Espacios vectoriales

¿Cuales de los siguiente conjuntos son subespacios de Rⁿ? (puede haber más de una opción)

• Un subconjunto de vectores de Rⁿ generado por un subconjunto de vectores.

• Un plano o una recta.

• El conjunto solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales.

• El conjunto solución de cualquier sistema de ecuaciones lineales homogenéo.

¿Que es combinación lineal de vectores?

• Una operación entre vectores.

• Es una expresión matemática que consiste de la suma entre vectores o múltiplos de ellos.

• Es una expresión matemática que consiste de la multiplicación entre vectores.

• Es una combinación con operaciones entre vectores.

¿Qué es una base de un subespacio?

• Es un conjunto de vectores de generadores de S

• Es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan a S.

• Es un conjunto de vectores linealmente independientes contenidos en S.

• Es una combinación lineal de vectores de S.

Sea  $V=R^3$  y sean   $v_1=\left(1,2,1\right)$ , $v_2=\left(1,0,2\right)$  y  $v_3=\left(1,1,0\right)$ . Los vectores  $\left\{v1,v2,v3\right\}$  generan a  $V=R^3$  

• No, porque no son vectores de la base canónica de  $R^3$  

• Si, porque cualquier vector de  $R^3$  se puede escribir como combinación lineal  de los vectores  $\left\{v1,v2,v3\right\}$  

• No, los vectores de  $R^3$  no se pueden escribir como CL de  $\left\{v1,v2,v3\right\}$  
  

• Si, porque los  vectores  $\left\{v1,v2,v3\right\}$  son LI

Sea $H=\left\{\left(a+b,-a+3b,b\right):\ a,b\ \in R\right\}$ , un conjunto generador de este subespacio corresponde a: 

•  $\left\{\left(1,-1,0\right),\ \left(1,3,1\right)\right\}$  

•  $\left\{\left(1,-1,1\right),\left(1,3,1\right)\right\}$  

•  $\left\{\left(1,2,2\right),\left(-1,3,-1\right)\right\}$  

•  $\left\{\left(1,1,1\right),\left(-1,3,1\right)\right\}$  

Sean $u=\left(3,-1,2\right)$  y  $v=\left(-3,4,-1\right)$ . La combinación lineal para la cual se obtiene el vector  $\left(15,-14,7\right)$  corresponde a:

•  $2u+3v$  

•  $2u-3v$  

•  $-2u+3v$  

•  $-2u-3v$  

Sea  $V=R^3$  y sean   $v_1=\left(1,2,1\right)$ , $v_2=\left(1,0,2\right)$  y  $v_3=\left(1,1,0\right)$ . Los escalares  $\left\{c_1,c_2,c_3\right\}$   de la combinación lineal de estos vectores para que generen al vector cualquiera   $\left\{a,b,c\right\}$  de   $V=R^3$  , son:

•  $c_1=\frac{2a+2b+c}{3},\ c_2=\frac{a-b+c}{3}.\ c_3=\frac{4a+b-2c}{3}$  
  

•  $c_1=\frac{-2a+2b+c}{3},\ c_2=\frac{a-b+c}{3}.\ c_3=\frac{4a-b-2c}{3}$  
  

•  $c_1=\frac{-2a+2b-c}{3},\ c_2=\frac{a-b+c}{3}.\ c_3=\frac{4a-b-2c}{3}$  
  

•  $c_1=\frac{-2a+2b+c}{3},\ c_2=\frac{a-b+c}{3}.\ c_3=\frac{4a+b+2c}{3}$