Ma 3: rep 4g (polynomgrafer och derivator)

• $f\left(x\right)=1\cdot\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x-6\right)$

• $f\left(x\right)=1\cdot\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)$

Answer explanation

Man ser nollställen.

När x är minus 2 då är funktionens värde noll, det betyder att det finns faktor $\left(x+2\right)$ i uttrycket.

Eftersom funktionen korsar x-axeln där x är 3 så finns det faktor $\left(x-3\right)$ i uttrycket.

Funktionen på bilden anges av  $f\left(x\right)=k\cdot\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x-6\right)$  
Nollställen ser man där den korsar x-axeln, men hur kan man ta reda på vad k är?

•  $f\left(0\right)=-36$  därför kan man ställa upp ekvationen:
   $k\cdot\left(0-2\right)\left(0+3\right)\left(0+6\right)=-36$  
  

• Det går inte att ta reda på det utifrån bara denna bild

• k är lutningen för funktionen, så man ska derivera

Answer explanation

k har inget med lutningen att göra här, man bara råkar olyckligtvis ha samma bokstav.

För att få ut funktionen för polynom utifrån bild, kan man först avläsa nollställen, göra dem till faktorer: 

 $f\left(x\right)=k\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x-6\right)$  
och sedan kontrollera om man multiplicerat det med något extra k om man hittar en punkt till. Här är det enklast att ta punkten  $\left(0,-36\right)$  , så byter man ut x mot 0 och f(x) mot -36.

För att skriva upp  funktionsuttrycket börjar vi med att 

•  $f\left(x\right)=k\cdot\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x-6\right)$  

•  $f\left(x\right)=k\cdot\left(x-3\right)\left(x+2\right)\left(x+6\right)$  

 $f\left(x\right)=k\cdot\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x-6\right)$  

För att bestämma k använder vi

• punkten  $\left(0,18\right)$  och sätter in  $f\left(0\right)=18$   

• derivatan

 $f\left(x\right)=k\cdot\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x-6\right)$  

Utifrån punkten  $\left(0,18\right)$  kan man bestämma att k är 

• 0,5

• 2

• 1

• -1

Answer explanation

 $f\left(x\right)=k\cdot\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x-6\right)$  

Sätter in  $\left(0,18\right)$  

 $18=k\left(0+3\right)\left(0-2\right)\left(0-6\right)$  
 $18=k\cdot36$  
 $k=0,5$