Ma 3 rep 5g (derivator) med förklaringar

Du ser grafen till  $f\left(x\right)$  och dess derivata  $f'\left(x\right)$  
Vilken är själva funktionen  $f\left(x\right)$  ?

•  $f\left(x\right)$  är den orange (den som korsar y-axeln på 10)

•  $f\left(x\right)$  är den gröna (den som korsar y-axeln på 5)

Answer explanation

Det är den orange som är funktionen och den gröna är dess derivata.
Det ser man, till exempel, på att derivatans nollställen är funktionens extrempunkter.

Den orange är funktionen och den gröna är dess derivata.
Den gröna derivatan  är ett polynom av grad 3.

• Då är den orange ett polynom av grad 4.

• Då är den orange ett polynom av grad 2

• Då är den orange ett polynom av samma grad, grad 3.

• Då är den orange ett polynom av grad noll eftersom det syns att den inte korsar x-axeln.

Answer explanation

Polynom förlorar 1 steg i graden när man deriverar dem. Därför är den orange av grad 4, alltså ett steg högre än dess derivata.

Det syns även på själva funktionsutseendet: polynom av udda grad sträcker sig från långt ner till långt upp eller tvärtom. Polynom av jämna grad sträcker sig från långt upp till långt upp eller tvärtom.

Vilka två påståenden stämmer om denna bild?
 $f\left(x\right)$  är orange och  $f'\left(x\right)$  är grön

• När  $f'\left(x\right)$  korsar x-axeln har  $f\left(x\right)$  extrempunkter

•  $f\left(x\right)$  har tre extrempunkter

•  $f'\left(x\right)$  har tre extrempunkter

•  $f\left(x\right)$  har tre nollställen

Vilka två påståenden stämmer om denna bild?
$f\left(x\right)$ är orange och $f'\left(x\right)$ är grön

• När $f'\left(x\right)$ är positiv, alltså är ovanför x-axeln, så går $f\left(x\right)$ uppåt

• $f\left(x\right)$ har inga nollställen

• $f'\left(x\right)$ har tre extrempunkter

• $f\left(x\right)$ har tre nollställen

• denna är rätt
  

• denna är rätt
  

• denna är fel
  

• denna är fel

Vilka tre påståenden stämmer om denna bild?
$f\left(x\right)$ är orange och $f'\left(x\right)$ är grön

•  $f'\left(x\right)=0$  har tre olika lösningar, eftersom den gröna kurvan korsar x-axeln på tre ställen
  

•  $f'\left(2,5\right)<0$  eftersom den gröna kurvan är under x-axeln och orange därmed på väg ner.
  

•  $f\left(x\right)=0\$ har tre lösningar, eftersom orange kurva vänder på tre ställen

•  $f\left(x\right)=0$  har inga reella lösningar, eftersom orange korva inte korsar x-axeln
  

Answer explanation

 $f\left(x\right)=0$  har inga lösningar eftersom den orange inte korsar x-axeln.

Däremot har  $f'\left(x\right)=0$  tre lösningar eftersom den gröna korsar x-axeln på tre ställen.

När  $x=2,5$  så är lutningen på den orange kurvan negativ, och därmed ligger den gröna under x-axeln, så det stämmer att  $f'\left(2,5\right)<0$