Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones

De las siguientes matrices, elige la que es estrictamente diagonalmente dominante:

• 
• 
• 
• 

La siguiente función tiene 7 ceros simples en el intervalo [-3,5]. Un procedimiento posible para encontrar la menor raíz en el intervalo es:

• Particionar en subintervalos y buscar el primero que contenga la raíz, luego usarlo con el método de bisección.

• Hacerle zoom a la gráfica hasta que se vea cuál es la primer raíz.

• Aplicar el método de Gauss-Seidel.

• Aplicar el método de bisección y confiar en Dios que encuentre la menor raíz entre las siete posibles.

Entre las siguientes, la matriz de iteración del método de Jacobi para resolver el sistema Ax=b (dónde D, L y U son tales que A=D-L-U) es:

•  $T_j=D^{-1}\left(L+U\right)$  

•  $T_j=\left(D-L\right)^{-1}U$  

•  $T_j=L^{-1}DU$  

•  $T_j=D^{-1}\left(-L-U\right)$  

Entre las siguientes, la matriz de iteración del método de Gauss Seidel para resolver el sistema Ax=b (dónde D, L y U son tales que A=D-L-U) es:

•  $T_{gs}=D^{-1}\left(L+U\right)$  

•  $T_{gs}=\left(D-L\right)^{-1}U$  

•  $T_{gs}=\left(D-U\right)^{-1}L$  

•  $T_{gs}=\left(D+L\right)^{-1}+U$  

Los métodos de relajación SOR son:

• Métodos pa' "cogela suave", cuando el semestre se pone pesado.

• Una modificación del método de Gauss-Seidel que permite mejorar la convergencia en algunos casos.

• Una modificación del método de Jacobi que permite mejorar la convergencia en cualquier caso.

• Una modificación del método de Gauss-Seidel que permite mejorar la convergencia sin importar la escogencia del parámetro w.

Suponga que A es una matriz definida positiva y tridiagonal. Una de las siguientes no se cumple ( $T_J,T_{gs},T_{w_{opt}}$  son las matrices de iteración de los métodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR con parámetro óptimo):

• $w_{opt}=\frac{2}{1+\sqrt{1-\left[\rho\left(T_J\right)\right]^2}}$

• $w_{opt}=\frac{2}{1+\sqrt{1-\left[\rho\left(T_{gs}\right)\right]^{ }}}$

• $\rho\left(T_J\right)=\rho\left(T_{gs}\right)$

• $\rho\left(T_{w_{opt}}\right)=w_{opt}-1$

• $2-\frac{\ln\left(7k\right)}{k^2}$
  

• -11

• 2

• Infinito

La imagen corresponde a las gráficas de las curvas dadas por el sistema de ecuaciones:
 $f_1\left(x,\ y\right)=0$  
 $f_2\left(x,y\right)=0$ El número de soluciones que tiene el sistema en la región del plano [-6,4]x[-6,4] es:

• 9

• 10

• 11

• Infinitas

La norma 1 del vector $v=\left(-2,\ 4,\ -7,2\right)$  es:

• -3

• 15

• 7

• -7

La norma infinito del vector $v=\left(-2,\ 4,\ -7,2\right)$  es:

• -3

• 15

• 7

• -7