Ma3: Enhetscirkel

Hur och varifrån räknas vinklar?

• 
• 
• 
• 

Answer explanation

Man har nollan på den positiva x-axeln och räknar positiva vinklar motsols

 $\sin\left(150\degree\right)=???$  

Answer explanation

Detta är en enhetscirkel.
Punkten på cirkeln som motsvarar rotation med  $150\degree$   har x-koordinaten  $\approx-0,87$  och y-koordinaten  $0,5$  .
x-koordinaten är cos, y-koordinaten är sin
Svar:  $\sin\left(150\degree\right)=0,5$  

 $\sin\left(330\degree\right)=???$  

Answer explanation

Detta är en enhetscirkel.
Punkten på cirkeln som motsvarar rotation med  $330\degree$   har x-koordinaten  $\approx0,87$  och y-koordinaten  $-0,5$  .
x-koordinaten är cos, y-koordinaten är sin
Svar:  $\sin\left(330\degree\right)=-0,5$  

Alla cosinus och sinus-värden, förutom 1 och -1, har två olika vinklar på enhetscirkelns ett varv.

Hur många lösningar har ekvationen $\cos\ v=0,5$  på ett varv?

• två, en finns i första kvadranten och en i fjärde, de har ju samma x-koordinat

• bara en

• inga

Alla cosinus och sinus-värden, förutom 1 och -1, har två olika vinklar på enhetscirkelns ett varv.

Hur många lösningar har ekvationen $\sin\ v=0,5$  på ett varv?

• två, en finns i första kvadranten och en i andra, de har ju samma y-koordinat

• bara en

• inga

Finns det ett annat sätt att komma till samma ställe? (Förutom att snurra ett extra varv moturs)

• japp, man "åker baklänges", alltså $-30\degree$

• japp, man kommer till samma ställe om man tar $-330\degree$

• nej, det är unikt

Answer explanation

Hur många vinklar finns det (på ett varv) som uppfyller $\sin\ v=0$  

• bara ett, nämligen  $v=90\degree$  

• bara ett, nämligen  $v=0\degree$  

• två, nämligen  $v=0\degree$  och  $v=180\degree$  

• två, nämligen  $v=90\degree$  och  $v=270\degree$  

• inga

Answer explanation

två olika vinklar har sinus noll, nämligen  $v=0\degree$  och  $v=180\degree$   .
Det är y-koordinaten som är sin v, och på cirkeln finns det två ställen med y-koordinaten 0.

Hur många vinklar finns det (på ett varv) som uppfyller $\sin\ v=1$  

• bara ett, nämligen  $v=90\degree$  

• bara ett, nämligen  $v=0\degree$  

• två, nämligen  $v=0\degree$  och  $v=180\degree$  

• två, nämligen  $v=90\degree$  och  $v=270\degree$  

• inga

Answer explanation

Bara ett, nämligen $v=90\degree$  .
Det är y-koordinaten som är sin v, och på cirkeln finns det bara ett ställe med y-koordinaten 1.

Det är bara 1 och -1 som har bara en vinkel på ett varv, ALLA andra värden har två.

Hur många vinklar finns det (på ett varv) som uppfyller $\cos\ v=0$  

• bara ett, nämligen  $v=90\degree$  

• bara ett, nämligen  $v=0\degree$  

• två, nämligen  $v=0\degree$  och  $v=180\degree$  

• två, nämligen  $v=90\degree$  och  $v=270\degree$  

• inga

Answer explanation

två olika vinklar har sinus noll, nämligen  $v=90\degree$  och  $v=270\degree$   .
Det är x-koordinaten som är cos v, och på cirkeln finns det två ställen med x-koordinaten 0.

Hur många lösningar har ekvationer av typen

 $\sin\ x=\ a$  och  $\cos\ x=a$  

på ett varv i enhetcirkeln?

• två om  $-1<a<1$  
  en om  $a=\pm1$  
  annars inga

• Det är olika för sin och cos, 
  sin ekvationer har en lösning,
  cos ekvationer har två, för att man kan gå framåt och bakåt