Ma3: Cirkelns ekvation

Ekvationen för denna är

• $x^2+y^2=4$

• $y=x^2+4$

• $x+y=4$

• $y=4x^2$

• $x^2+y^2=2$
  

Answer explanation

En cirkel med centrum i origo består av alla punkter som är på samma avstånd från origo.

Cirkeln ges av pythagoras sats där man roterar en punkt med koordinater (x,y) på ett avstånd r från origo och därmed får ekvationen $x^2+y^2=r^2$
Eftersom radien är $2$ , ska det vara lika med $4$

 $\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=9$  
är en cirkel med centrum i 

•   $\left(3,-2\right)$  

•   $\left(-3,\ 2\right)$ 

•  $\left(3,\ 2\right)$  

•  $\left(-3,-2\right)$  

Answer explanation

Om man ska flytta en cirkel från origo:
höger-vänster flytt sitter på x
upp-ner flytt sitter på y
det blir " åt fel håll" på båda: 

 $\left(x-3\right)^2$  betyder att vi flyttat tre steg åt höger och har x-koordinaten positiv tre

 $\left(y+2\right)^2$  betyder att vi flyttat två steg ner och har y-koordinaten negativ två

 $\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2=9$  
är en cirkel med  radien

•  3

•  9

• 81

• 4,5

• 2

Answer explanation

Eftersom det är frågan om pythagoras sats så är det kvadrater vi se ser i formeln så 9 är radie i kvadrat vilket ger att radien är 3

Hur vet man om en punkt ligger på cirkelns rand om man har punktens koordinater och cirkelns ekvation?

• man sätter in koordinaterna och kollar om det stämmer

• man löser ut y ur cirkelns ekvation och löser ut x och ställer upp ekvationen y=x

• man ritar upp det och kollar

Answer explanation

visst, skulle man kunna rita och i uppenbara fall så syns det, men ibland så ligger punkten nästan på cirkeln och då ser man egentligen inte.

Så säkrast är ju alltid att räkna.

Ange ekvationen för vår kära enhetscirkel

Answer explanation

$x^2+y^2=1$

Enhetscirkel har centrum i origo, därför ska vi bara ha $x^2$ och $y^2$ .

Radien är ett och ett i kvadrat är ett.

Ge ekvationen för en valfri cirkel som uppfyller följande krav:

1) centrum ligger i första kvadranten

2) cirkeln rör inte koordinataxlarna alls

Answer explanation

Centrum i första kvadranten = båda koordinaterna är positiva = på både x och y ska det vara minus något.

För att den inte ska vidröra axlarna ska radien vara mindre än beloppet av koordinaterna. Jag valde koordinaterna (3,4) därför ska radie vara mindre än 3, alltså det ska vara lika med något som är mindre än 9.

 $\left(x+3\right)^2+\left(y-1\right)^2=25$  

Vilket är största värde som x-koordinaten för en punkt på denna cirkel kan anta?

Answer explanation

x-koordinaten för centrum är  $-3$  eftersom vi har  $\left(x+3\right)^2$  
radien är  $5$ , eftersom det är lika med  $25$  
Därför har punkten som är längst till höger på cirkeln koordinaten  $-3+5$  , alltså  $2$  

 $x^2+y^2+6x-4y=25$  

• radien på cirkeln är 5 eftersom det är lika med 25

• radien syns inte nu när uttrycket inte är kvadratkompletterat

• detta är inte en cirkel

Answer explanation

Det ÄR en cirkel men någon utvecklade kvadraterna. Onödigt! 
 $x^2+6x\ +\ ...\ +\ y^2-4y+\ ...\ =25$  
Vad behöver vi lägga till för att stänga igen?
 $x^2+6x\ +\ ...$   behöver  $+9$  
 $y^2-4y+...$   behöver  $+4$   (obs! PLUS, inte minus)

Vi gör detta på båda sidor
 $x^2+6x\ +\ 9\ +\ y^2-4y+\ 4\ =25+9+4$   och stänger in kvadraterna:
 $\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=38$  
Radien är alltså inte 5 utan  $\sqrt{38}\approx$ lite mer än 6

Vilka är cirklar?

• $x^2+\left(y-3\right)^2=7$

• $\left(x-3\right)^2\cdot\left(y-4\right)^2=16$

• $x^2+8x+y^2-3x=4$

• $x^2=y^2$

Answer explanation

OBS! Det är plus mellan inte gånger, så detta är INTE en cirkel: $\left(x-3\right)^2\cdot\left(y-4\right)^2=16$

Däremot är det helt OK att det är lika med 7 för cirkelns radie måste inte vara ett heltal, och helt OK att den ena är bara x och den andra har en parentes: $x^2+\left(y-3\right)^2=7$ är en cirkel med centrum i $\left(0,3\right)$ och radien $\sqrt{7}$

Även ett icke kvdratkompletterat samband ger en cirkel om man vid kvadratkompletteringen får ett positivt värde på högersidan, vilket vi får här: $x^2+8x+y^2-3x=4$

$x^2=y^2$ är inte en cirkel, skriv upp det på geogebra och titta vad du får.

Vad tror du man får om man skriver in i geogebra: $x^2+y^2+z^2=9$  

Answer explanation

ta da