MMA 1.3: Funções Ortogonais

Para esta lição é interessante ter algum software para resolver as integrais. O que interessa mais aqui é o conceito de ortogonalidade de funções em um intervalo. Lembre-se: f é ortogonal a g em [a,b] se a integral $\int_a^bf\left(x\right).g\left(x\right)\ dx\ =\ 0$ . Marque par de funções ortogonais em $\left[-1,1\right]$  

•  $y=1\ \ e\ \ y=\cos\left(x\right)$  

•  $y=1\ \ e\ \ y=x$  

•  $y=\sin\left(x\right)\ \ e\ \ y=x$  

•  $y=1\ \ e\ y=x\ \sin\left(x\right)$  

Quando dizemos que duas funções são ortogonais em um intervalo [a,b] isso quer dizer que (há duas respostas corretas)

• Há um ponto no intervalo [a,b] em que os gráficos se cruzam formando um ângulo de 90º.

• o produto das funções f e g têm gráficos que deixam a mesma área entre o eixo Ox e o gráfico de f.g acima do eixo Ox e a área acima do gráfico de f.g abaixo do eixo Ox.

• o produto interno $<f,g>\int_a^bf\left(x\right).g\left(x\right)\ dx=0$ e quando isso acontece dizemos que os vetores f e g são ortogonais em [a,b]

• não só em um ponto, mas em todos os pontos de interseção entre os gráficos de f e g no intervalo [a,b] estes formam um ângulo de 90º.

A ortogonalidade entre duas funções depende diretamente do intervalo considerado, ou seja, um par de funções podem ser ortogonais em um intervalo e não ser em outro. Dadas as funções  $y=\sin\left(x\right)$  e $y=\cos\left(3x\right)$  é correto afirmar que este par de funções são ortogonais em (há duas respostas corretas)

•  $\left[0,1\right]$  

•  $\left[0,\pi\right]$  

•  $\left[-L,L\right]\ \ ,\ \ L\in R_+$  

•  $\left[1,5\right]$  

Marque as alternativas em que os pares de funções são ortogonais no intervalo [-1,1] (há mais de uma resposta correta). Sugestão: use um SAC (Sistema de Álgebra por Computador como MAXIMA, MATHEMATICA, MAPLE, GeoGebra etc.) para fazer os cálculos. O foco aqui não são as integrais em si e sim o conceito de funções ortogonais.

• $y=3x^2-1$ e $y=5x^3-3x$

• $y=63x^5-70x^3+15x$ e $y=3x^2-1$

• $y=63x^5+15x$ e $y=3x^2-1$

• $y=63x^2+15x$ e $y=3x^2+1$

Aponte o conjunto a seguir é de funções ortogonais entre si no intervalo [0,L], [-L,L] e mais geralmente em intervalos na forma [r.L,s.L] com r e s números naturais com r (há duas respostas corretas). Obs.: os conjuntos L1 e L2 são conhecidos como Polinômios de Legendre e Laguerre, respectivamente. Não é esperado que você faça cálculo; apenas que reconheça os conjuntos de funções ortogonais a partir do que já estudou.

•  $\psi_1=\left\{\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right\}_{n=0^{\ }}^{\ N\rightarrow\infty}$  

•  $\psi_2=\left\{\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right\}_{n=1^{\ }}^{\ N\rightarrow\infty}$  

•  $L_1=\left\{\frac{1}{2^nn!}\ \frac{d^n}{dx^n}\left[\left(x^2-1\right)^n\right]\right\}_{n=1}^{N\rightarrow\infty}$  

•  $L_2=\left\{\frac{1}{n!}\ e^x\ \frac{d^n}{dx^n}\left(x^n.e^{-x}\right)\right\}_{n=0}^{N\rightarrow\infty}$