ct PROOBA

Note : il est important que vous notiez toutes les données au début de chaque exercice !

Exercice 1 ( 6 points )

Une équipe professionnelle de football recense les retards des joueurs aux entraînements. Après des études, ils ont réussi à modéliser ce phénomène par une loi normale. D'après les études, les joueurs ont en moyenne 5 minutes de retard aux entraînements avec une variance de l'ordre de 100. On note X " nombre de minutes de retards pour un joueur".

Chaque fois qu'un joueur a moins de 6 minutes de retard, il est sûr de jouer au prochain match.

Question 1 : Calculer la probabilité que le joueur joue assurément au prochain match.

• 0,5

• 0,5793

• 0,5398

• 0,5438

Calculer la probabilité que le joueur ait entre 8 et 10 minutes de retard.

• 0,0956

• 0,0736

• 0,0543

• 0,0743

On prend un échantillon de 10 joueurs dans l'équipe, cette équipe est composée au total de 100 joueurs. On note Y " nombre de joueurs jouant assurément au prochain match" ( on rappelle qu'un joueur est sûr de jouer s'il a eu moins de 6 minutes de retard). On sait donc que Y~ H ( 100;10;0,5398). Approximer Y par une loi discrète appropriée puis calculer la probabilité que 3 joueurs soient sûrs de jouer au prochain match.

• 0,07

• 0,08

• 0,03

• 0,2

Exercice 2 ( 6 points ).

On considère un échantillon de 480 individus et l'on constate que 70% des individus sont roux. Nous modélisons donc ce phénomène par une loi de Bernoulli avec une variable aléatoire X " nombre d'individus roux".

Quel est l'estimateur du maximum de vraisemblance pour p ? Quelles sont des propriétés ?

Déterminer un intervalle de confiance au seuil 95% pour p.

• [ 0,66 ; 0,74]

• [ 0,67; 0,72]

• [ 0,65;0,71]

• [ 0,62 ; 0,7]

Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon afin que l'erreur ne dépasse pas 5% ?

• 323

• 564

• 987

• 243

Exercice 3 : ( 3 points )

Soient deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2, on a :

X1 ~ P( 5)

X2 ~ P(2)

On a également deux variables aléatoires données par les expressions suivantes :

Z= 2X1 + 3X2

Y= X1 + 8X2

Déterminer V(Z) et V(Y)

• V(Z) = 38

• V(Z) = 16

• V(Y) = 21

• V(Y) = 133

Déterminer le coefficient de corrélation entre Y et Z . Il FAUT ARRONDIR AU centième près . ( 2 points)

• C1 = 0,45

• C1= 0,66

• c0 = 0,45

• c0 = 0,19

Calculer le coefficient de dtéermination

• 0,22

• 0,83

• 0,55

• 0,43