ДЗ №3 Хард | Вектори

Яка з пар векторів колінеарна? 

Оберіть два варіанти, що утворюють цю пару.

• a(1;-2;3)

• b(2;0;6)

• c(-2;4;-6)

• d(-1;2;3)

На площині дано чотири точки А(1; 2), В(1; 5), С(3; 4), D(1; 4). Знайдіть кут між векторами АВ і СD.

• 45°

• 60°

• 90°

• 30°

• 120°

Answer explanation

Знайдемо вектори, для цього від кінця вектора віднімаємо його початок:

АВ = (1-1; 5-2) = (0;3);

CD = (1-3; 4-4) = (-2;0).

Шукаємо скалярний добуток:

(AB,CD) = 0 (-2) + 3 0 = 0.

Оскільки скалярний добуток дорівнює нулю, вектори перпендикулярні, тобто кут між ними 90°.

Знайти довжину вектора АВ, якщо А(-1; 1; -1), В(-1; 1; 1)

• √2

• 2

• 2√2

• 3

• 1

Answer explanation

Дано паралелограм АВСD. О – точка перетину діагоналей. Який з наведених векторів дорівнює сумі ВС+ОА?

• AB

• OC

• OB

• OD

• AD

Answer explanation

Оскільки AD || BC, то відповідно вектори AD і BC рівні. Тоді ОА + ВС = ОА + AD = OD

За якого значення t вектори a(8; t; 6) і d(4; 2;3) будуть перпендикулярними?

(a)  

Answer explanation

Ненульові вектори будуть перпендикулярними лише тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто a1d1 + a2d2 + a3d3 = 0

8*4 + t*2 + 6*3 = 0; 2t + 50 = 0;  t = -25.

Знайдіть вектор 𝑐 = 2𝑎 − 𝑏 ⃗ , якщо 𝑎 (3;−1;2), 𝑏 ⃗ (−2;2;5).

• 𝑐 (5;−3;−3)

• 𝑐 (4;0;−1)

• 𝑐 (8;0;−1)

• 𝑐 (4;4;−1)

• 𝑐 (8;−4;−1)

Answer explanation

2(3; −1; 2) - (−2; 2; 5) = ( 2 3-(-2); 2 (−1)-2; 2 * 2-5) = (8; -4; -1)

Вектор 𝑂𝐴 ⃗ лежить на осі z прямокутної декартової системи координат у просторі  (див. рисунок), і його початок збігається з початком координат. Визначте координати вектора 𝑂𝐴 ⃗ , якщо його довжина дорівнює 3.

• (1; 1; 1)

• (0; 3; 0)

• (0; 0; 3)

• (3; 0; 0)

• (3; 3; 3)

Answer explanation

Оскільки вектор належить вісі ОZ, то його абсциса і апліката точно будуть дорівнювати 0. А оскільки довжина вектора дорівнює три, то відповідь (0; 0; 3)

За якого додатного значення n вектори a(n+5; -8) I b(5; 1-n) колінеарні?

(a)  

Кут між векторами a i b становить 60˚, |𝑎| = |𝑏| = 1, знайти (𝑎 + 𝑏)²

(a)  

Answer explanation

(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏² = 1 × 1 × 𝑐𝑜𝑠0˚ + 2 × 1 × 1 × 𝑐𝑜𝑠60˚ + 1 × 1 × 𝑐𝑜𝑠0˚ = 1 + 1 + 1 = 3.