Передбанник | 6 день: геометрія

Через одну пряму можна провести безліч площин.

Прямі КМ і ВС лежать у різних площинах та не перетинаються.

Отже, за аксіомою стереометрії, такі прямі є мимобіжними.

При паралельному перенесенні пряма EF переходить у пряму ВС.

Тоді визначемо кут між прямими АВ та ВС в основі тетраедра.

За умовою тетраедр правильний, отже, його нижньою гранню є правильний трикутник, в якому всі кути дорівнюють 60°. Це і є шуканим кутом.

Проведемо пряму ED, що належить грані ADHЕ.

Прямі ED i AH є діагоналями квадрата, а отже, перетинаються під кутом 90°.

Площу бічної поверхні прямої призми обчислюємо за формулою:

S_б=Poc•H,

де Poc – периметр основи;

H – висота прямої призми, довжина бічного ребра.

У прямокутному трикутнику ABC (∠BAC=90), в якому AB=6 см – катет і BC=10 см – гіпотенуза, за теоремою Піфагора знайдемо катет BC – третю сторону основи прямої призми:AC²=BC²-AB², звідси

$$AC=\sqrt[]{BC^2-AB^2}=\sqrt[]{10^2-6^2}=\sqrt[]{100-36}=8\ см$$  

Обчислимо периметр основи прямої призми:

Poc=AB+BC+AC=6+8+10=24 см.

Обчислимо площу бічної поверхні прямої призми з бічним ребром H=CC₁=5 см:

S_б=Poc•H =24•5=120 см².

Об’єм правильної призми обчислюємо за формулою:

V=Soc•H,

де Soc – площа основи;

H – висота правильної призми, довжина бічного ребра.

У правильному трикутнику ABC (AB=BC=AC=A=4 см) площа обчислюється за формулою:

$$S=\frac{a^2\ \sqrt[]{3}}{4}=\frac{4^2\cdot\sqrt[]{3}}{4}=4\ \sqrt[]{3}cм^2$$  

Обчислимо об’єм правильної призми з бічним ребром H=CC1=2√3 см:

V=Soc•H=4√3• 2√3 =4•2•3=24 см³.

Площа повної поверхні правильної призми:

Sn=2Soc+Sb.

В основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат зі стороною a.

Тому площа основи:

Soc=a²,

периметр основи:

Poc=4a.

Площа бічної поверхні:

Sb=Soc•H=4aH.

Площа повної поверхні правильної чотирикутної призми:

Sn=2Soc+Sb=2a²+4aH=2a(a+2H).

В основі правильної трикутної піраміди SABC лежить правильний (рівносторонній) трикутник ABC зі стороною b√3.

Всі ребра правильної піраміди рівні, проекцією вершина піраміди є центр описаного навколо основи кола.

Позначимо:

SO – висота піраміди, AO – радіус описаного кола;

SA – бічне ребро піраміди.

Оскільки висота SO піраміди перпендикулярна до площини основи (трикутника ABC), то вона перпендикулярна до кожної прямої, що належить площині основи, тому SO⊥AO.

У рівносторонньому трикутнику ABC (AB=AC=BC=b√3) знайдемо радіус описаного кола AO=R:

$$AO=R=\frac{AB\sqrt[]{3}}{3}=\frac{b\sqrt[]{3}\cdot\sqrt[]{3}}{3}=b$$  

Розглянемо прямокутний трикутник AOS (∠AOS=90), у якому AO=b, SO=H – катети.

За теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу SA – довжину бічного ребра правильної трикутної піраміди:

$$SA^2=AO^2+SO^2\rightarrow SA=\sqrt[]{AO^2+SO^2}=\sqrt[]{b^2+H^2}$$  

Об'єм піраміди обчислюють за формулою:

$$V=\frac{1}{3}S_{oc}\cdot H$$  

В основі правильної чотирикутної піраміди SABCD лежить квадрат ABCD. Виконаємо допоміжну побудову.

Вершина правильної піраміди проектується в центр основи піраміди (в точку перетину діагоналей квадрата), звідси SO=H=12 см – висота піраміди.

Проведемо відрізок MO⊥CD.

Оскільки висота SO піраміди перпендикулярна до площини основи (квадрата ABCD, то вона перпендикулярна до кожної прямої, що належить площині основи, тому SO⊥MO.

Проведемо відрізок (похилу) SM.

Оскільки MO⊥CD, то за теоремою «про три перпендикуляри» SM⊥CD, звідси SM=13 см – висота бічної грані правильної чотирикутної піраміди – апофема піраміди.У прямокутному трикутнику SOM (∠SOM=90), у якого SO=12 см – катет, SM=13 см – гіпотенуза, знайдемо інший катет MO:

MO²=SM²-SO², звідси

$$MO=\sqrt[]{SM^2-SO^2}=\sqrt[]{13^2-12^2}=5\ см$$  

У квадраті MO⊥CD, де точка O – центр квадрата (точка перетину діагоналей), тому (за властивістю квадрата) MO||AD і AD=2MO=2∙5=10 см(це доводиться на основі того, що MO – середня лінія трикутника ACD).

Обчислимо площу:

$$S=AD^2=10^2=100$$  

За формулою обчислюємо об'єм піраміди:

$$V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12=400$$