ДЗ11 "Параметри"

Знайдіть усі значення параметра "a", при якому рівняння x² + 2x + a = 0 не має дійсних коренів. У відповідь запишіть суму одержаних значень або найменше ціле значення з одержаного проміжку

(a)  

Answer explanation

Маємо квадратне рівняння. Квадратне рівняння не має дійсних коренів тоді, коли воно має від'ємний дискримінант.

(можна розглянути D або D/4)

Розглянемо цю ситуацію:

x² + 2x + a = 0

D = (2)² - 4 * a = 4 - 4a < 0

4a > 4

a > 1. При таких значеннях параметра a рівняння не буде мати дійсний розв'язок.

У відповідь запишемо 2, як найменше ціле число з одержаного проміжку

Визначте значення параметра а, при якому рівняння |x| = a - 3 має єдиний розв'язок. У відповідь запишіть суму одержаних значень або найменше ціле значення з одержаного проміжку

(a)  

Answer explanation

Трохи поміркуємо: якщо модуль дорівнює від'ємному числу, то таке рівняння взагалі не матиме коренів;

якщо модуль дорівнює додатньому числу, то таке рівняння матиме два корені (за означенням модуля);

Розглянемо випадок, коли |x| = 0, тобто a - 3 = 0 => a = 3.

Дійсно, |x| = 0 => x = 0 — єдиний розв'язок

Заносимо у відповідь 3

При яких значеннях a і b рівняння (a + 5)x = 2b - 6 має нескінченно багато розв'язків? У відповідь запишіть суму a + b

(a)  

Answer explanation

(a + 5)x = 2b - 6

Маємо лінійне рівняння. Нескінченно багато розв'язків має лінійне рівняння виду 0x = 0, адже за будь-якого значення х рівність буде вірною. З цього зробимо висновок, що a + 5 і 2b - 6 мають дорівнювати нулю:

a + 5 = 0

a = -5;

2b - 6 = 0

2b = 6

b = 3;

Для відповіді: -5 + 3 = -2

При якому значенні параметра a рівняння 2a(a - 2)x = a - 2 має нескінченну кількість коренів

(a)  

Answer explanation

Аналогія до позаминулого завдання: лінійне рівняння виду 0х = 0 має нескінченну кількість коренів, тому маємо наступну систему:

2a(a - 2) = 0 (1)

a - 2 = 0 (2)

(1): 2a = 0 або a - 2 = 0

a = 0 або a = 2

(2): a = 2

Оскільки це система, то треба взяти спільний розв'язок, тобто а = 2

Знайдіть всі значення а, при яких рівняння (a - 3)x² - 6x + a + 5 = 0 має тільки від'ємні корені. У відповідь вкажіть найменше ціле число, що одержано

(a)  

При якому значенні параметра а рівняння |x| = a² - 5 не має розв'язку? У відповідь впишіть найменше ціле число з отриманого результату

(a)  

Answer explanation

Рівняння з модулем не має розв'язку тоді, коли модуль дорівнює від'ємному числу. Запишемо наступне:

a² - 5 < 0

(a - √5)(a + √5) < 0

Розв'язавши методом інтервалів, маємо проміжок

a ∈ (-√5; √5)

У відповідь запишемо число -2

При яких значення параметра а сума квадратів коренів рівняння x² + ax + a² - 3 = 0 максимальна? У відповідь запишіть суму отриманих значень або найменше число з одержаного проміжку

(a)  

Answer explanation

Подібну задачу зручно розв'язувати за допомогою теореми Вієта, тому що вона дозволяє працювати безпосередньо з коренями:

x₁ + x₂ = -a

x₁ * x₂ = a² - 3

Суму квадратів коренів легко отримати з першого рівняння, якщо піднести обидві частини рівняння до квадрату. Зробимо це:

(x₁ + x₂)²= (-a)²

x₁² + x₂² + 2x₁x₂ = a²

x₁² + x₂² = a² - 2x₁x₂

А далі ми бачимо добуток x₁x₂, який у нас є — друге рівняння системи. Підставляємо:

x₁² + x₂² = a² - 2(a² - 3) = a² - 2a² + 6 = -a² + 6

Трішки подумаємо, коли сума -a² + 6 приймає найбільшого значення. Якщо збільшувати а, то така сума буде тільки зменшуватись; якщо зменшувати а, то така сума буде, знову таки, тільки зменшуватись. Єдиний варіант, що дає максимальну суму — а = 0, тоді x₁² + x₂² = -0² + 6 = 6 — найбільша сума, яку можна отримати

Відповідь: 0